Задачи повышенной трудности — Задачи — 1281 — стр. 283

В данной задаче мы рассматриваем уравнение \(y=\sqrt{20+2 \sqrt{91+6x-x^2}}-\sqrt{20-2 \sqrt{91+6x-x^2}},\) где \(y\) — целое число.

Для начала, возводим обе части уравнения в квадрат:
\(y^2 = (\sqrt{20+2 \sqrt{91+6x-x^2}}-\sqrt{20-2 \sqrt{91+6x-x^2}})^2 \)
\(= (20+2 \sqrt{91+6x-x^2}) - 2\sqrt{(20+2 \sqrt{91+6x-x^2})(20-2 \sqrt{91+6x-x^2})} + (20-2 \sqrt{91+6x-x^2}) \)
\(=40 - 2\sqrt{400-364-24x+4x^2} \\= 40 - 2\sqrt{36-24x+4x^2} \)
\(= 40 - 2\sqrt{(2x-6)^2} \\= 40 - 2|2x-6| \\= 40 - 4| x - 3 |\)

Таким образом, \(y^2 = 40 - 4| x - 3 |.\) Это уравнение имеет решения, когда \(x \geq 0\) и \(x < 0\).

Для \(x \geq 0\), у нас \(y = 2 \sqrt{10 -x+3} = 2 \sqrt{10 -|x-3|} .\) Из этого следует, что:
При \(x = 4,\) \(y = 2 \sqrt{13 - 4} = 2 \cdot 3 = 6\).
При \(x = 9,\) \(y = 2 \sqrt{13 - 9} = 2 \cdot 2 = 4\).
При \(x = 12,\) \(y = 2 \sqrt{13 - 12} = 2 \cdot 1 = 2\).
При \(x = 13,\) \(y = 2 \sqrt{13 - 13} = 2 \cdot 0 = 0\).

Для \(x < 0\), у нас \(y = 2 \sqrt{10-(-x + 3)}= 2 \sqrt{10+x - 3}=2 \sqrt{7 + x}.\) Это даёт:
При \(x = -3,\) \(y = 2 \sqrt{7 - 3} = 2 \cdot 2 = 4\).
При \(x = -6,\) \(y = 2 \sqrt{7 + 6} = 2 \cdot 1 = 2\).
При \(x = -7,\) \(y = 2 \sqrt{7 + 7} = 2 \cdot 0 = 0\).

Таким образом, решение уравнения: \(-7, -6, -3, 4, 9, 12, 13\).