Вертикаль.
2015
Функция \(y\) от \(x\) задана формулой \(y=\frac{a x+b}{c x+d}\), где \(a d-b c \neq 0\). Пусть значениям аргумента \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) и \(x_{4}\) соответствуют значения функции \(y_{1}, y_{2}, y_{3}\) и \(y_{4}\). Докажите, что
\(\frac{y_{3}-y_{1}}{y_{3}-y_{2}}: \frac{y_{4}-y_{1}}{y_{4}-y_{2}}=\frac{x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}: \frac{x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}\)
\(y=\frac{a x+b}{cx+d}, a d-bc \neq 0 \)
\(y_1=\frac{a x_1+b}{cx_1+d} ;\)
\( y_2=\frac{a x_2+b}{cx_2+d} ;\)
\( y_3=\frac{a x_3+b}{cx_3+d} ; \)
\(y_4=\frac{a x_4+b}{cx_4+d}\).
\(y_3-y_1=\frac{a x_3+b}{cx_{3 } + d}-\frac{a x_1+b}{cx_{1 } + d}\)
\(=\frac{(a x_3+b)(cx_1+d)-(a x_1+b)(cx_3+d)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}\)
\(=\frac{a x_3 \cdot cx_1+b \cdot cx_1+a x_3 \cdot d+bd-a x_1 \cdot cx_3-b \cdot cx_3-a x_1 \cdot d-bd}{(cx_3+d)(cx_1+d)}\)
\(=\frac{bcx_1+a dx_3-bcx_3-a dx_1}{(cx_3+d)(cx_1+d)}\)
\(=\frac{(bcx_1-bcx_3)+(a dx_3-a dx_1)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}\)
\(=\frac{bc(x_1-x_3)+a d(x_3-x_1)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}\)
\(=\frac{(x_1-x_3)(bc-a d)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}\)
\(=\frac{(bcx_2-bcx_3)+(a dx_3-a dx_2)}{(cx_3+d)(cx_2+d)}\)
\(y_3-y_2=\frac{a x_3+b}{cx_{3 } + d}-\frac{a x_2+b}{cx_{2 } + d}\)
\(=\frac{(a x_3+b)(cx_2+d)-(a x_2+b)(cx_3+d)}{(cx_3+d)(cx_3+d)}\)
\(=\frac{a x_3 \cdot cx_2+b \cdot cx_2+a x_3 \cdot d+bd-a x_2 \cdot cx_3-b \cdot cx_3-a x_2 \cdot d-bd}{(cx_3+d)(cx_2+d)}\)
\(=\frac{bcx_2+a dx_3-bcx_3-a dx_2}{(cx_3+d)(cx_2+d)}\)
\(=\frac{bc(x_2-x_3)+a d(x_3-x_2)}{(cx_3+d)(cx_2+d)}\)
\(=\frac{(x_2-x_3)(bc-a d)}{(cx_3+d)(cx_2+d)}\)
\(y_4-y_1=\frac{a x_4+b}{cx_{4 } + d}-\frac{a x_1+b}{cx_1+d}\)
\(=\frac{(a x_4+b)(cx_1+d)-(a x_1+b)(cx_4+d)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}\)
\(=\frac{(bcx_1-bcx_4)+(a dx_4-a dx_1)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}\)
\(=\frac{bc(x_1-x_4)+a d(x_4-x_1)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}\)
\(=\frac{(x_1-x_4)(bc-a d)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}\)
\(=\frac{(bcx_2-bcx_4)+(a dx_4-a dx_2)}{(cx_4+d)(cx_2+d)}\)
\(=\frac{bc(x_2-x_4)+a d(x_4-x_2)}{(cx_4+d)(cx_2+d)}\)
\(=\frac{(x_2-x_4)(bc-a d)}{(cx_4+d)(cx_2+d)}\)
\(\frac{y_3-y_1}{y_3-y_2}\)
\(=\frac{(x_1-x_3)(bc-a d)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}: \frac{(x_2-x_3)(bc-a d)}{(cx_3+d)(cx_2+d)}\)
\(=\frac{(x_1-x_3)(bc-a d)}{(cx_3+d)(cx_1+d)} \cdot \frac{(cx_3+d)(cx_2+d)}{(x_2-x_3)(bc-a d)}\)
\(=\frac{(x_1-x_3)(cx_2+d)}{(cx x_1+d)(x_2-x_3)}\)
\(\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2}\)
\(=\frac{(x_1-x_4)(bc-a d)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}: \frac{(x_2-x_4)(bc-a d)}{(cx_4+d)(cx_2+d)}\)
\(=\frac{(x_1-x_4)(bc-a d)}{(cx_4+d)(cx_1+d)} \cdot \frac{(cx_4+d)(cx_2+d)}{(x_2-x_4)(bc-a d)}\)
\(=\frac{(x_1-x_4)(cx_2+d)}{(cx x_1+d)(x_2-x_4)}\)
\(\frac{y_3-y_1}{y_3-y_2}:\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2}\)
\(\frac{(x_1-x_3)(cx_2+d)}{(cx_1+d)(x_2-x_3)} : \frac{(x_1-x_4)(cx_2+d)}{(cx_1+d)(x_2-x_4)}\)
\(\frac{(x_1-x_3)(cx_2+d)}{(cx_1+d)(x_2-x_3)} \cdot \frac{(cx_1+d)(x_2-x_4)}{(x_1-x_4)(cx_2+d)}\)
\(=\frac{x_1-x_3}{x_2-x_3}\cdot \frac{x_2-x_4}{x_1-x_4}\)
\(=\frac{x_1-x_3}{x_2-x_3}: \frac{x_1-x_4}{x_2-x_4}\)
\(=\frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}: \frac{x_4-x_1}{x_4-x_2}\)
Мы доказали, что \(\frac{y_{3}-y_{1}}{y_{3}-y_{2}}: \frac{y_{4}-y_{1}}{y_{4}-y_{2}}=\frac{x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}: \frac{x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}\).
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Функция \(y\) от \(x\) задана формулой \(y=\frac{a x+b}{c x+d}\), где \(a d-b c \neq 0\). Пусть значениям аргумента \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) и \(x_{4}\) соответствуют значения функции \(y_{1}, y_{2}, y_{3}\) и \(y_{4}\). Докажите, что \(\frac{y_{3}-y_{1}}{y_{3}-y_{2}}: \frac{y_{4}-y_{1}}{y_{4}-y_{2}}=\frac{x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}: \frac{x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}\)
Еще решебники за 8 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 8 класс, которые могут быть Вам интересны.
