Задачи повышенной трудности — Задачи — 1286 — стр. 283

В данной задаче мы имеем уравнение \(x^2 - y^2 = 69\), где \(x\) и \(y\) являются натуральными числами. Мы можем разложить выражение на множители, чтобы найти все возможные комбинации:
\( (x-y)(x+y) = 69 \)
Известно, что \(69\) имеет четыре пары множителей: \(1 \cdot 69\), \(3 \cdot 23\), \(69 \cdot 1\), \(23 \cdot 3\).

Рассмотрим первую пару:
\(\begin{cases}x - y = 69 \\x + y = 1\end{cases}\)
При решении этой системы уравнений получаем \(x = 35\), что приводит к \(y = -34\). Однако, \(y = -34\) не является натуральным числом.

Рассмотрим вторую пару:
\(\begin{cases}x - y = 23 \\x + y = 3\end{cases}\)
Получаем \(x = 13\), что приводит к \(y = -10\). Но \(y = -10\) также не является натуральным числом.

Переходим к третьей паре:
\(\begin{cases}x - y = 1 \\x + y = 69\end{cases}\)
Решив эту систему, получаем \(x = 35\), откуда следует \(y = 34\), что удовлетворяет условию натурального числа.

И последняя пара:
\(\begin{cases}x - y = 3 \\x + y = 23\end{cases}\)
Решая, получаем \(x = 13\) и \(y = 10\), что также является натуральным числом.

Таким образом, решениями уравнения \(x^2 - y^2 = 69\) являются пары чисел: \((35, 34)\) и \((13, 10)\).