Задачи повышенной трудности — Задачи — 1287 — стр. 283

$a+b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ являются рациональными числами.

1. Сложение чисел:
При сложении чисел вида $(x+y\sqrt{2})+(m+n\sqrt{2})$ получаем $(x+m)+\sqrt{2}(y+n)$, что также имеет вид $a+b\sqrt{2}$.

2. Вычитание чисел:
При вычитании $(x+y\sqrt{2})-(m+n\sqrt{2})$ получаем $(x-m)+\sqrt{2}(y-n)$, также в форме $a+b\sqrt{2}$.

3. Умножение чисел:
При умножении $(x+y\sqrt{2})\cdot (m+n\sqrt{2})$ получаем $(xm+2yn)+\sqrt{2}(ym+xn)$, что также представляется в форме $a+b\sqrt{2}$.

4. Деление чисел:
При делении $\frac{x+y\sqrt{2}}{m+n\sqrt{2}}$ и последующих преобразованиях получаем $\frac{xm-2yn}{m^2-2n^2}+\frac{ym-xn}{m^2-2n^2}\sqrt{2}$, также в форме $a+b\sqrt{2}$.

Таким образом, решение показывает, что операции сложения, вычитания, умножения и деления чисел вида $a+b\sqrt{2}$ сохраняют этот вид, что демонстрирует их замкнутость относительно этих операций.