Задачи повышенной трудности — Задачи — 1288 — стр. 283

В данном уравнении \( (x+y\sqrt{2})(x-y\sqrt{2}) = 1 \), где \( x = 3 \) и \( y = 2 \), можно заметить интересные свойства и применить их для нахождения дополнительных решений.

Посмотрим на результат возведения в квадрат выражений \( x+y\sqrt{2} \) и \( x-y\sqrt{2} \):

\((x+y\sqrt{2})^2 \)
\(= x^2+2xy\sqrt{2}+(y\sqrt{2})^2 \)
\(= x^2+2xy\sqrt{2}+2y^2 \)
\(= (x^2+2y^2) + 2xy\sqrt{2} \)

\((x-y\sqrt{2})^2\)
\( = x^2-2xy\sqrt{2}+(y\sqrt{2})^2\)
\(= x^2-2xy\sqrt{2}+2y^2 \)
\(= (x^2+2y^2) - 2xy\sqrt{2}\)

Получаем, что результаты квадратов обеих выражений имеют вид \( a + b\sqrt{2} \), где \( a = x^2 + 2y^2 \) и \( b = 2xy \). Таким образом, для \( n = 2 \) получаем дополнительное решение уравнения, где \( a = 17 \) и \( b = 12 \).

Проверим данное решение:
\((17+12\sqrt{2})(17-12\sqrt{2}) = 17^2 - (12\sqrt{2})^2 \\= 289 - 288 = 1\)

Таким образом, \( (17, 12) \) также является решением уравнения. Мы видим, что применение данного подхода позволяет получить бесконечное множество решений при различных значениях \( n \).