Пара чисел \(x=3, y=2\) является решением уравнения \((x+y \sqrt{2})(x-y \sqrt{2})=1\). Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.
В данном уравнении \( (x+y\sqrt{2})(x-y\sqrt{2}) = 1 \), где \( x = 3 \) и \( y = 2 \), можно заметить интересные свойства и применить их для нахождения дополнительных решений.
Посмотрим на результат возведения в квадрат выражений \( x+y\sqrt{2} \) и \( x-y\sqrt{2} \):
\((x+y\sqrt{2})^2 \)
\(= x^2+2xy\sqrt{2}+(y\sqrt{2})^2 \)
\(= x^2+2xy\sqrt{2}+2y^2 \)
\(= (x^2+2y^2) + 2xy\sqrt{2} \)
\((x-y\sqrt{2})^2\)
\( = x^2-2xy\sqrt{2}+(y\sqrt{2})^2\)
\(= x^2-2xy\sqrt{2}+2y^2 \)
\(= (x^2+2y^2) - 2xy\sqrt{2}\)
Получаем, что результаты квадратов обеих выражений имеют вид \( a + b\sqrt{2} \), где \( a = x^2 + 2y^2 \) и \( b = 2xy \). Таким образом, для \( n = 2 \) получаем дополнительное решение уравнения, где \( a = 17 \) и \( b = 12 \).
Проверим данное решение:
\((17+12\sqrt{2})(17-12\sqrt{2}) = 17^2 - (12\sqrt{2})^2 \\= 289 - 288 = 1\)
Таким образом, \( (17, 12) \) также является решением уравнения. Мы видим, что применение данного подхода позволяет получить бесконечное множество решений при различных значениях \( n \).
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Пара чисел \(x=3, y=2\) является решением уравнения \((x+y \sqrt{2})(x-y \sqrt{2})=1\). Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.
Еще решебники за 8 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 8 класс, которые могут быть Вам интересны.
