Задачи повышенной трудности — Задачи — 1290 — стр. 283

Имеем уравнение \( (x^2 - a^2)^2 = 4ax + 1 \), которое мы можем преобразить, выделив полные квадраты:
\(4ax = 2ax + 2ax\)
\(4ax + 1 = a^2 + 2ax + x^2 - a^2 + 2ax - x^2 + 1 \)
\(= (a^2 + 2ax + x^2) - (a^2 - 2ax + x^2) + 1 \)
\(= (a + x)^2 - (a - x)^2 + 1\)
Это выражение можно представить как \( (x^2 - a^2)^2 = (a + x)^2 - (a - x)^2 + 1 \).

Далее, введем обозначение: \( (x + a)^2 = m \) и \( (x - a)^2 = n \). Получаем новое уравнение:
\(mn = m - n + 1\)
\(mn + n = m + 1\)
\(n(m + 1) = m + 1\)
Так как \(m \neq -1\), следовательно, \(n = 1\).

Решая уравнение \( (x - a)^2 = 1 \), получаем два возможных значения:
\((x - a)^2 = 1\)
\(x - a = 1\)
\( x = a + 1\)
или
\(x - a = -1 \)
\(x = a - 1\)

Проверим найденные значения \(x\):
Для \(x = a + 1\): \(4a(a + 1) + 1 = 4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1) \geq 0\) - верно.
Для \(x = a - 1\): \(4a(a - 1) + 1 = 4a^2 - 4a + 1 = (2a - 1) \geq 0\) - верно.

Таким образом, получаем ответ: \(x = a + 1\) и \(x = a - 1\).