Задачи повышенной трудности — Задачи — 1290 — стр. 283

Имеем уравнение $(x^2-a^2{)}^2=4ax+1$, которое мы можем преобразить, выделив полные квадраты:
$4ax=2ax+2ax$
$4ax+1=a^2+2ax+x^2-a^2+2ax-x^2+1$
$=(a^2+2ax+x^2)-(a^2-2ax+x^2)+1$
$=(a+x{)}^2-(a-x{)}^2+1$
Это выражение можно представить как $(x^2-a^2{)}^2=(a+x{)}^2-(a-x{)}^2+1$.

Далее, введем обозначение: $(x+a{)}^2=m$ и $(x-a{)}^2=n$. Получаем новое уравнение:
$mn=m-n+1$
$mn+n=m+1$
$n(m+1)=m+1$
Так как $m\ne -1$, следовательно, $n=1$.

Решая уравнение $(x-a{)}^2=1$, получаем два возможных значения:
$(x-a{)}^2=1$
$x-a=1$
$x=a+1$
или
$x-a=-1$
$x=a-1$

Проверим найденные значения $x$:
Для $x=a+1$: $4a(a+1)+1=4a^2+4a+1=(2a+1)\ge 0$ - верно.
Для $x=a-1$: $4a(a-1)+1=4a^2-4a+1=(2a-1)\ge 0$ - верно.

Таким образом, получаем ответ: $x=a+1$ и $x=a-1$.