Задачи повышенной трудности — Задачи — 1293 — стр. 284

Уравнение, данное в задаче, имеет вид \(x^2 + (a - 1)x - 2a = 0\). Чтобы найти корни этого уравнения, мы должны рассмотреть его дискриминант, который определяется как \(D = (a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) \)
\(= a^2 - 2a + 1 + 8a \)
\(= a^2 + 6a + 1\).

Также известно, что сумма квадратов корней равна \(9\) согласно заданию.

Применяя теорему Виета, где \(x_1 + x_2 = -(a - 1) = 1 - a\) и \(x_1x_2 = -2a\), мы получаем:
\(x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = 9\)
\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9\)
\((1 - a)^2 - 2(-2a) = 9\)
\(1 - 2a + a^2 + 4a - 9 = 0\)
\(a^2 + 2a - 8 = 0\)
Применяя теорему Виета, находим корни уравнения \(a_1 = 2\) и \(a_2 = -4\).

Подставим \(a = 2\) в дискриминант: \(D = a^2 + 6a + 1 = 2^2 + 6 \cdot 2 + 1 = 17\).

Подставим \(a = -4\) в дискриминант: \(D = (-4)^2 + 6 \cdot (-4) + 1 = 16 - 24 + 1 = -7 < 0\), что означает, что дискриминант отрицательный, и корень \(a = -4\) не подходит.

Таким образом, ответ: \(a = 2\).