Задачи повышенной трудности — Задачи — 1294 — стр. 284

У нас дано уравнение $x+\frac{1}{x}=n$, где $n>2$ и $x\ne 0$. Мы можем использовать это, чтобы получить квадратное уравнение следующим образом:

$x^2+1=nx\text{или}{x}^2-nx+1=0$
Чтобы у уравнения было два корня, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля. Дискриминант равен $D=(-n{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=n^2-4$.

Для того чтобы $D>0$, имеем $n^2-4>0$, что приводит к $(n-2)(n+2)>0$. Решая неравенство, получаем $n_1=2$ и $n_2=-2$.

Так как $n$ является натуральным числом и $n>2$, то $n$ не может быть равным $-2$. Поэтому, $n=2$.

Теперь, чтобы найти $x$, мы используем формулу $\frac{n\pm \sqrt{n^2-4}}{2}$. Однако, поскольку $n$ является иррациональным числом, если $\sqrt{n^2-4}$ также иррационально, мы предполагаем, что $\sqrt{n^2-4}$ является рациональным числом.

Если $\sqrt{n^2-4}=\frac{m}{k}$, где $m$ и $k$ - натуральные числа, то мы можем получить противоречие, так как $n^2-\frac{m^2}{k^2}=4$ должно быть натуральным числом.

Рассмотрим $\frac{m^2}{k^2}=s^2$. Значит, $\frac{m}{k}=s$ - натуральное число.

Из уравнения $n^2-4=s^2$ получаем $(n-s)(n+s)=4$, что влечет систему $\{\begin{array}{l}n-s=1\\ n+s=4\end{array}$. Решая систему, получаем $2n=5\Rightarrow n=2.5$, что противоречит тому, что $n$ - натуральное число.

Следовательно, $\sqrt{n^2-4}$ является иррациональным числом.

Ответ: при $n>2$.