Задачи повышенной трудности — Задачи — 1294 — стр. 284

У нас дано уравнение \(x + \frac{1}{x} = n\), где \(n > 2\) и \(x \neq 0\). Мы можем использовать это, чтобы получить квадратное уравнение следующим образом:

\(x^2 + 1 = nx \quad \text{или} \quad x^2 - nx + 1 = 0\)
Чтобы у уравнения было два корня, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля. Дискриминант равен \(D = (-n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = n^2 - 4\).

Для того чтобы \(D > 0\), имеем \(n^2 - 4 > 0\), что приводит к \((n - 2)(n + 2) > 0\). Решая неравенство, получаем \(n_1 = 2\) и \(n_2 = -2\).

Так как \(n\) является натуральным числом и \(n > 2\), то \(n\) не может быть равным \(-2\). Поэтому, \(n = 2\).

Теперь, чтобы найти \(x\), мы используем формулу \(\frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2}\). Однако, поскольку \(n\) является иррациональным числом, если \(\sqrt{n^2 - 4}\) также иррационально, мы предполагаем, что \(\sqrt{n^2 - 4}\) является рациональным числом.

Если \(\sqrt{n^2 - 4} = \frac{m}{k}\), где \(m\) и \(k\) - натуральные числа, то мы можем получить противоречие, так как \(n^2 - \frac{m^2}{k^2} = 4\) должно быть натуральным числом.

Рассмотрим \(\frac{m^2}{k^2} = s^2\). Значит, \(\frac{m}{k} = s\) - натуральное число.

Из уравнения \(n^2 - 4 = s^2\) получаем \((n - s)(n + s) = 4\), что влечет систему \(\begin{cases} n - s = 1 \\ n + s = 4 \end{cases}\). Решая систему, получаем \(2n = 5\Rightarrow n=2.5\), что противоречит тому, что \(n\) - натуральное число.

Следовательно, \(\sqrt{n^2 - 4}\) является иррациональным числом.

Ответ: при \(n > 2\).