Задачи повышенной трудности — Задачи — 1295 — стр. 284

У нас дана функция $y=\sqrt{x^2+2\sqrt{2}x+2}+\sqrt{x^2-2\sqrt{2}x+2}$, где $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$. Мы можем упростить её, используя свойства корней:
$y=\sqrt{x^2+2\sqrt{2}x+2}+\sqrt{x^2-2\sqrt{2}x+2}$
$=\sqrt{(x+\sqrt{2}{)}^2}+\sqrt{(x-\sqrt{2}{)}^2}$
$=|x+\sqrt{2}|+|x-\sqrt{2}|$

Теперь, учитывая, что $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$, мы можем разбить выражение на два случая: когда $x+\sqrt{2}\ge 0$ и $x-\sqrt{2}\le 0$, тогда $y=x+\sqrt{2}+(-(x-\sqrt{2}))=x+\sqrt{2}-x+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

Таким образом, $y=2\sqrt{2}$.

Это доказывает, что функция $y$ является линейной функцией.