Задачи повышенной трудности — Задачи — 1295 — стр. 284

У нас дана функция \(y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{2}x + 2} + \sqrt{x^2 - 2\sqrt{2}x + 2}\), где \(-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}\). Мы можем упростить её, используя свойства корней:
\(y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{2}x + 2} + \sqrt{x^2 - 2\sqrt{2}x + 2} \)
\(= \sqrt{(x+\sqrt{2})^2} + \sqrt{(x-\sqrt{2})^2} \)
\(= |x+\sqrt{2}| + |x-\sqrt{2}|\)

Теперь, учитывая, что \(-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}\), мы можем разбить выражение на два случая: когда \(x + \sqrt{2} \geq 0\) и \(x - \sqrt{2} \leq 0\), тогда \(y = x + \sqrt{2} + (-(x - \sqrt{2})) = x + \sqrt{2} - x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).

Таким образом, \(y = 2\sqrt{2}\).

Это доказывает, что функция \(y\) является линейной функцией.