§10. Геометрическая прогрессия — 29. Определение геометрической прогрессии — 608 — стр. 173

Рассмотрим равносторонний треугольник. Так как он равносторонний, высота, проведенная из вершины, одновременно является медианой и биссектрисой. Применим теорему Пифагора для нахождения длины стороны следующего треугольника:
\(a_{n+1}^2 = a_n^2 - \left(\frac{a_n}{2}\right)^2\)
где \(a_{n+1}\) - высота треугольника, \(a_n\) - сторона треугольника.
Теперь найдем периметр \(P_1\) исходного треугольника:
\(P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 8 = 24 \, \text{см}\)
Далее, используя формулу для нахождения стороны следующего треугольника, найдем периметр \(P_2\), затем сторону и периметр третьего треугольника, и так далее:
\(a_2^2 = a_1^2 - \left(\frac{a_1}{2}\right)^2 = 8^2 - 4^2 = 48 \)
\(a_2 = 4\sqrt{3} \, \text{см} \)
\(P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \, \text{см} \)
\(a_3^2 = a_2^2 - \left(\frac{a_2}{2}\right)^2 = (4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 36 \)
\(a_3 = 6\, \text{см} \)
\(P_3 = 3a_3 = 18 \, \text{см}\)
Таким образом, мы получили геометрическую прогрессию, где \(q = \frac{P_2}{P_1} = \frac{P_3}{P_2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Теперь, используя формулу для суммы геометрической прогрессии, найдем периметр \(P_6\):
\(P_6 = P_1 \cdot q^{5} = 24 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 = \frac{27\sqrt{3}}{4} \, \text{см}\)
Ответ: Периметр треугольника после 6 итераций будет составлять \(\frac{27\sqrt{3}}{4}\) см.