§10. Геометрическая прогрессия — 29. Определение геометрической прогрессии — 609 — стр. 173

В данной задаче, мы использовали свойство, что вершины каждого следующего треугольника являются серединами сторон предыдущего треугольника. Это позволяет нам определить, что стороны каждого следующего треугольника являются средними линиями предыдущего треугольника.
Мы начали с вычисления периметра первого треугольника, обозначенного \(P_1\), который составил \(3 \cdot 16= 48 \, \text{см}\), так как каждая сторона равна \(16 \, \text{см}\). Затем мы вычислили сторону второго треугольника, обозначенную \(a_2\), которая равна половине стороны предыдущего треугольника, т.е., \(8 \, \text{см}\), и определили периметр второго треугольника, обозначенного \(P_2\), который составил \(24 \, \text{см}\)
Далее, мы продолжили этот процесс для третьего треугольника, определяя его сторону (\(a_3 = 4 \, \text{см}\)) и периметр (\(P_3 = 12 \, \text{см}\)).
Для проверки условия геометрической прогрессии (\(q = \frac{P_3}{P_2} = \frac{P_2}{P_1}\)), мы убедились, что оно выполняется, и определили, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию.
Используя формулу геометрической прогрессии \(P_n = P_1 \cdot q^{n-1}\), мы вычислили периметр восьмого треугольника (\(P_8\)), который составил \(P_1 \cdot q^7=48\cdot \frac{1}{2^7} = \frac{48}{128}= \frac{3}{8} \, \text{см}\)
Таким образом, ответ: периметр восьмого треугольника равен \(\frac{3}{8} \, \text{см}\).