§10. Геометрическая прогрессия — 29. Определение геометрической прогрессии — 610 — стр. 173

Рассмотрим арифметическую прогрессию, где три числа обозначены как \(x_1, x_2, x_3\), а разность этой прогрессии равна \(b\).
\(x_3 = x_2 + b = x_1 + 2b\)
Также известно, что числа \(x_1, (x_2-1)\) и \((x_3+1)\) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q\).
\(x_3 + 1 = (x_2 - 1) \cdot q = x_1 \cdot q^2\)
Также у нас есть информация о сумме этих чисел:
\(x_1 + x_2 + x_3 = 21\)
Из этого уравнения можно выразить \(x_1\) через разность \(b\):
\(3x_1 + 3b = 21 \\ x_1 + b = 7\)
Таким образом, мы получаем \(x_2 = 7\).
Теперь составим систему уравнений, используя условия задачи:
\(\begin{cases} x_1(q-1) = b-1 \\ x_1(q^2-1) = 2b+1 \end{cases}\)
Далее решаем систему:
\(\begin{cases} x_1(q-1) = b-1 \\ q = \frac{b+2}{b-1} \end{cases}\)
Подставив значение \(q\) в первое уравнение, получаем:
\(x_1 = \frac{(b-1)^2}{3}\)
Теперь подставим \(x_1\) в уравнение для суммы, чтобы найти \(b\):
\(x_1 + x_2 + x_3 = (b-1)^2 + 3b = 21\)
Решив это уравнение, получаем два возможных значения для \(b\):
\(b_1 = 4, \quad b_2 = -5\)
Используем \(b_1 = 4\) для нахождения \(x_1, x_2, x_3\):
\(x_1 = 3, \quad x_2 = 7, \quad x_3 = 11\)
Или используем \(b_2 = -5\):
\(x_1 = 12, \quad x_2 = 7, \quad x_3 = 2\)
Ответ: Возможны два набора чисел: \(3, 7, 11\) или \(12, 7, 2\).