§10. Геометрическая прогрессия — 29. Определение геометрической прогрессии — 611 — стр. 173

Пусть первое число обозначено как \(x_1\). Тогда второе число \(x_2 = (x_1 + d)\), а третье \(x_3 = (x_1 + 2d)\), где \(d\) - разность арифметической прогрессии, и при этом \(x_1 > 0, x_2 > 0, x_3 > 0\).
Из условия задачи мы знаем, что \(x_1 + x_2 + x_3 = 15\), что эквивалентно \(3x_1 + 3d = 15\). Таким образом, \(x_1 + d = 5\).
Отсюда следует, что второе число равно \(x_2 = 5\).
Также известно, что числа \(x_1 + 1, x_2 + 1, x_3 + 4\) образуют геометрическую прогрессию:
\(\begin{cases} x_1 + d + 1 = (x_1 + 1)q \\ x_1 + 2d + 4 = (x_1 + 1)q^2 \end{cases}\)
Решая эту систему, мы приходим к значениям:
\(\begin{cases} d = x_1(q - 1) + q - 1 \\ 2d + 3 = (x_1 + 1)(q^2 - 1) \end{cases}\)
Далее решаем эту систему:
\(\begin{cases} d = x_1(q - 1) + q - 1 \\ 2d + 3 = (x_1 + 1)(q^2 - 1) \end{cases}\)
Это приводит к системе:
\(\begin{cases} 2 + \frac{3}{d} = q + 1 \\ x_1 + 1 = \frac{d}{\frac{d + 3}{d} - 1} \end{cases}\)
Решение этой системы дает:
\(\begin{cases} q = 1 + \frac{3}{d} \\ x_1 + 1 = \frac{d}{\frac{d + 3}{d} - 1} \end{cases}\)
Подставив значение \(q\) из первого уравнения во второе, мы получаем:
\(\begin{cases} q = \frac{d + 3}{d} \\ x_1 = \frac{d^2}{3} - 1 \end{cases}\)
Это дает квадратное уравнение для \(d\): \(d^2 + 3d - 18 = 0\), которое решается как \(d_1 = 3\) и \(d_2 = -6\).
Используем \(d = 3\) для нахождения \(x_1, x_2, x_3\):
\(x_1 = 2, \quad x_2 = 5, \quad x_3 = 8\)
Или используем \(d = -6\):
\(x_1 = 11, \quad x_2 = 5, \quad x_3 = -1\)
Так как \(x_3\) должно быть положительным, отбрасываем второй вариант.
Ответ: Верное решение: \(x_1 = 2, x_2 = 5, x_3 = 8\).