§10. Геометрическая прогрессия — 29. Определение геометрической прогрессии — 614 — стр. 174

Рассмотрим неравенство \(2x^2 - 13x - 34 \geq 0\). Это квадратное уравнение задает параболу, у которой ветви направлены вверх. Найдем корни уравнения:

\(2x^2 - 13x - 34 = 0\)

\(x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 + 272}}{4}\)

\(x_1 = 8.5\)

\(x_2 = -2\)

Теперь рассмотрим знаки многочлена в интервалах, образованных корнями. Промежутки, на которых график функции находится выше оси \(Ox\), соответствуют решению неравенства: \(x \in (-\infty; -2) \cup (8.5; +\infty)\).

Рассмотрим неравенство \(10x - 4x^2 < 0\). Это также квадратное уравнение, но теперь его график описывает параболу с ветвями, направленными вниз. Найдем корни уравнения:

\(10x - 4x^2 = 0\)

\(x(5 - 2x) = 0\)

\(x_1 = 0\)

\(x_2 = 2.5\)

Рассмотрим знаки многочлена в интервалах между корнями. Промежутки, на которых график функции находится ниже оси \(Ox\), соответствуют решению неравенства: \(x \in (-\infty; 0) \cup (2.5; +\infty)\).

Рассмотрим неравенство \(\frac{x-4}{2x+5} \leq 0\). Определитель знаменателя не должен быть равен нулю, следовательно, исключаем \(x = -2.5\)

Умножим обе стороны на \((2x + 5)\), учитывая ограничение на \(x\):

\((x - 4)(2x + 5) \leq 0, x \neq -2.5\)

Получаем:

\((x - 4)(x + 2.5) \leq 0\)

Корни уравнения:

\(x_1 = 4\)

\(x_2 = -2.5\)

Применяем метод интервалов, чтобы определить знак многочлена: \(x \in (-2.5; 4)\).