§10. Геометрическая прогрессия — 30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии — 615 — стр. 177

Для начала рассмотрим формулы для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\(S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}\)

Теперь, подставим значения из условия:

\(b_5 = b_1 \cdot q^4 = 8 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{2}\)

\(S_5 = \frac{b_1 \cdot (q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{8 \cdot (\frac{1}{32} - 1)}{-\frac{1}{2}} = \frac{31}{2} = 15 \frac{1}{2}\)

Таким образом, \(b_5\) равно \(\frac{1}{2}\), а сумма первых пяти членов \(S_5\) равна \(15 \frac{1}{2}\).

Перейдем к следующему случаю:

\(b_5 = b_1 \cdot q^4 = 500 \cdot (\frac{1}{5})^4 = \frac{4}{5}\)

\(S_5 = \frac{b_1 \cdot (q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{125 \cdot 4 \cdot (\frac{1}{125 \cdot 25} - 1)}{-\frac{4}{5}} = \frac{12500 - 4}{25}\cdot \frac{5}{4}= \frac{3124}{5} = 624,8\)

Таким образом, \(b_5\) равно \(\frac{4}{5}\), а сумма первых пяти членов \(S_5\) равна \(624,8\).