§10. Геометрическая прогрессия — 30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии — 616 — стр. 177

Рассмотрим последовательность \(3, -6, \ldots\). Для этой последовательности находим знаменатель \(q\):

\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{3} = -2\)

Теперь, используя формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\(S_6 = \frac{b_1 \cdot (q^6 - 1)}{q - 1}\)

подставим значения:

\(S_6 = \frac{3 \cdot ((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} = -63\)

Таким образом, сумма первых шести членов данной последовательности равна \(-63\).

Рассмотрим последовательность \(54, 36, \ldots\). Находим знаменатель \(q\):

\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}\)

Теперь используем формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\(S_6 = \frac{b_1 \cdot (q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{54 \cdot ((\frac{2}{3})^6 - 1)}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{\frac{128}{27} - 54}{-\frac{1}{3}} = \frac{1330}{27} \cdot 3 = 147 \frac{7}{9}\)

Таким образом, сумма первых шести членов данной последовательности равна \(147 \frac{7}{9}\).

Рассмотрим последовательность \(-32, -16, \ldots\). Находим знаменатель \(q\):

\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-16}{-32} = \frac{1}{2}\)

Теперь используем формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\(S_6 = \frac{b_1 \cdot (q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{-32 \cdot (\frac{1}{64} - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{63}{2} \cdot (-2) = -63\)

Таким образом, сумма первых шести членов данной последовательности равна \(-63\).

Рассмотрим последовательность \(1, -\frac{1}{2}, \ldots\). Находим знаменатель \(q\):

\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}\)

Теперь используем формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\(S_6 = \frac{b_1 \cdot (q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot ((-\frac{1}{2})^6 - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{3} = \frac{21}{32}\)

Таким образом, сумма первых шести членов данной последовательности равна \(\frac{21}{32}\).