§10. Геометрическая прогрессия — 30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии — 622 — стр. 177

Имеется геометрическая последовательность с заданными условиями:
\(b_1 = 2, \quad b_5 = 162\)
Также известно, что \(b_2 < 0, b_4 < 0\) и \(b_1 > 0, b_3 > 0\). Исходя из этих условий, можно сделать вывод, что знаменатель \(q\) должен быть отрицательным.
Сначала определим значение \(q\):
\(b_5 = b_1 \cdot q^4 \Rightarrow q^4 = \frac{b_5}{b_1} = \frac{162}{2} = 81 \Rightarrow q = \pm3\)
Так как \(q\) должен быть отрицательным, выбираем отрицательный корень \(q = - 3\)
Теперь вычислим сумму первых шести членов геометрической последовательности:
\(S_6 = \frac{b_1 \cdot (q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{2 \cdot ((-3)^6 - 1)}{-4} = -364\)
Таким образом, сумма первых шести членов данной геометрической последовательности равна -364.