§10. Геометрическая прогрессия — 30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии — 623 — стр. 178

В данной геометрической последовательности известны значения \(b_2\) и \(b_4\): \(b_2 = 6\) и \(b_4 = 54\). По условию известно, что \(q > 0\), так как все члены прогрессии положительные.
Также, согласно свойствам геометрической последовательности, \(b_4 = b_2 \cdot q^2\), что позволяет нам найти значение \(q\):
\(q = \sqrt{\frac{b_4}{b_2}} = \sqrt{\frac{54}{6}} = 3\)
Также, мы знаем, что \(b_2 = b_1 \cdot q\), отсюда можно выразить значение \(b_1\):
\(b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{6}{3} = 2\)
Теперь мы можем найти сумму первых семи членов геометрической последовательности:
\(S_7 = \frac{b_1 \cdot (q^7 - 1)}{q - 1} = \frac{2 \cdot (3^7 - 1)}{3 - 1} = 2186\)
Таким образом, сумма первых семи членов данной геометрической последовательности равна 2186.