§10. Геометрическая прогрессия — 31. Метод математической индукции — 629 — стр. 181

При \(n=1\):
\(\frac{1^2(1+1)^2}{4}=\frac{4}{4}=1=1^3\)
При \(n=2\):
\(\frac{2^2(2+1)^2}{4}=9=1+8=2^3\)
При \(n=3\):
\(\frac{3^2(3+1)^2}{4}=36=1+8+27=1^3+2^3+3^3\)
Для \(n=1,2,3\) формула верна. Теперь предположим, что формула справедлива при \(n=k\):
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}\)
Докажем, что формула справедлива для \(n=k+1\):
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3\)
\(\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2\left(k^2+4(k+1)\right)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}-\text { формула справедлива}\)
Доказательство завершено.