§10. Геометрическая прогрессия — 31. Метод математической индукции — 630 — стр. 181

Мы начинаем с частного случая $n=1$ и проверяем, что при $n=1$ формула верна:
$\frac{1}{3}\cdot 1\cdot (1+1)\cdot (1+2)=\frac{2\cdot 3}{3}=2$
Теперь предположим, что формула верна для некоторого $n=k$:
$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots +k(k+1)=\frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$
Теперь мы хотим доказать, что формула также верна для $n=k+1$:
$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots +k(k+1)+(k+1)(k+2)=$
$=\frac{1}{3}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}=\frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$
Мы проводим вычисления и приходим к тому, что формула верна для всех натуральных чисел $n$.