§10. Геометрическая прогрессия — 31. Метод математической индукции — 630 — стр. 181

Мы начинаем с частного случая \(n=1\) и проверяем, что при \(n=1\) формула верна:
\(\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (1+1) \cdot (1+2) = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2\)
Теперь предположим, что формула верна для некоторого \(n = k\):
\(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1) = \frac{1}{3} k(k+1)(k+2)\)
Теперь мы хотим доказать, что формула также верна для \(n = k+1\):
\(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1) + (k+1)(k+2)=\)
\(= \frac{1}{3} k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)\)
Мы проводим вычисления и приходим к тому, что формула верна для всех натуральных чисел \(n\).