§10. Геометрическая прогрессия — 31. Метод математической индукции — 632 — стр. 182

\(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\ldots+n(3 n+1)=n(n+1)^{2}\)
При \(n=1\) утверждается, что \(1 \cdot (1+1)^2 = 4\), что является верным, так как \(1 \cdot 4 = 4\).
Предположим, что равенство верно при \(n=k\)
\(1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \cdots + k(3k+1) = k(k+1)^2\)
Теперь докажем, что равенство сохраняется при \(n=k+1:\)
\(1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \cdots + k(3k+1) + (k+1)(3(k+1)+1)= k(k+1)^2 + (k+1)(3(k+1)+1)\),
\(k(k+1)^2+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)(k^2 + k + 3k + 4)= (k+1)(k+2)^2\)
Таким образом, мы доказали, что равенство сохраняется при \(n=k+1\). Это завершает наше математическое рассуждение, и мы приходим к выводу, что \(1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \cdots + n(3n+1) = n(n+1)^2\).