§10. Геометрическая прогрессия — 31. Метод математической индукции — 636 — стр. 182

При $n=1$ проверим, что $u_1=1=u_2$, что является верным утверждением.

Теперь предположим, что свойство верно при $n=k$

$u_1+u_3+u_5+\cdots +u_{2k-1}=u_{2k}$

Теперь докажем, что свойство верно при $n=k+1$

$u_1+u_3+u_5+\cdots +u_{2k-1}+u_{2k+1}=u_{2k}+u_{2k+1}$

и с учетом того, что $u_{2k}+u_{2k+1}=u_{2k+2}=u_{2(k+1)}$, мы убеждаемся в справедливости данного утверждения.

При $n=1$ проверим, что $u_1^2=1=u_1\cdot u_2$, что также является верным утверждением.

Теперь предположим, что свойство верно при $n=k$

$u_1^2+u_2^2+u_3^2+\cdots +u_k^2=u_k\cdot u_{k+1}$

Теперь докажем, что свойство верно при $n=k+1$

$u_1^2+u_2^2+u_3^2+\cdots +u_k^2+u_{k+1}^2=u_k\cdot u_{k+1}+u_{k+1}^2$

и с учетом того, что $u_k\cdot u_{k+1}+u_{k+1}^2=u_{k+1}(u_k+u_{k+1})=u_{k+1}\cdot u_{k+2}$, мы подтверждаем справедливость данного утверждения.