Полярная звезда
2016
Пусть \(\left(u_{n}\right)\) - последовательность чисел Фибоначчи, т. е. \(u_{1}=1\), \(u_{2}=1\), \(u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1}\) при \(n>2\). Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:
a) \(u_{1}+u_{3}+u_{5}+\ldots+u_{2 n-1}=u_{2 n}\);
б) \(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+\ldots+u_{n}^{2}=u_{n} \cdot u_{n+1}.\)
а
При \(n=1\) проверим, что \(u_1=1=u_2\), что является верным утверждением.
Теперь предположим, что свойство верно при \(n=k\)
\(u_1+u_3+u_5+\cdots+u_{2k-1}=u_{2k}\)
Теперь докажем, что свойство верно при \(n=k+1\)
\(u_1+u_3+u_5+\cdots+u_{2k-1}+u_{2k+1}=u_{2k}+u_{2k+1}\)
и с учетом того, что \(u_{2k}+u_{2k+1}=u_{2k+2}=u_{2(k+1)}\), мы убеждаемся в справедливости данного утверждения.
б
При \(n=1\) проверим, что \(u_1^2=1=u_1 \cdot u_2\), что также является верным утверждением.
Теперь предположим, что свойство верно при \(n=k\)
\(u_1^2+u_2^2+u_3^2+\cdots+u_k^2=u_k \cdot u_{k+1}\)
Теперь докажем, что свойство верно при \(n=k+1\)
\(u_1^2+u_2^2+u_3^2+\cdots+u_k^2+u_{k+1}^2=u_k \cdot u_{k+1}+u_{k+1}^2\)
и с учетом того, что \(u_k \cdot u_{k+1}+u_{k+1}^2=u_{k+1}\left(u_k+u_{k+1}\right)=u_{k+1} \cdot u_{k+2}\), мы подтверждаем справедливость данного утверждения.
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Математика за 9 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Пусть \(\left(u_{n}\right)\) - последовательность чисел Фибоначчи, т. е. \(u_{1}=1\), \(u_{2}=1\), \(u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1}\) при \(n>2\). Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством: a) \(u_{1}+u_{3}+u_{5}+\ldots+u_{2 n-1}=u_{2 n}\); б) \(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+\ldots+u_{n}^{2}=u_{n} \cdot u_{n+1}.\)
Еще решебники за 9 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 9 класс, которые могут быть Вам интересны.
