§10. Геометрическая прогрессия — Дополнительные упражнения к параграфу 10 — 669 — стр. 186

$b_1=x_1+1$, $b_2=x_2+1=x_{1}q+1$, и общий член данной последовательности выражается формулой $b_n=x_1{q}^{n-1}+1$.

Рассмотрим отношение соседних членов:

$z=\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{x_1{q}^{n-1}+1}{x_1{q}^{n-2}+1}$

Заметим, что знаменатель данной дроби зависит от $n$, следовательно, данная последовательность не является геометрической прогрессией.

$b_1=3x_1$, $b_2=3x_2=3x_{1}q$, и общий член данной последовательности выражается формулой $b_n=3x_1{q}^{n-1}$.

Рассмотрим отношение соседних членов:

$z=\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{3x_1{q}^{n-1}}{3x_1{q}^{n-2}}=q^{n-1-n+2}=q$

Таким образом, данная последовательность является геометрической прогрессией.

$b_1=x_1^2$, $b_2=x_2^2=x_1^2{q}^2$, и общий член данной последовательности выражается формулой $b_n=x_1^2{q}^{2n-2}$.

Рассмотрим отношение соседних членов:

$z=\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{x_1^2{q}^{2n-2}}{x_1^2{q}^{2n-4}}=q^{2n-2-2n+4}=q^2$

Таким образом, данная последовательность является геометрической прогрессией.

$b_n=\frac{1}{x_n}$. Получаем $b_1=\frac{1}{x_1}$, $b_2=\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_{1}q}$, и общий член данной последовательности выражается формулой $b_n=\frac{1}{x_1{q}^{n-1}}$.

Рассмотрим отношение соседних членов:

$z=\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{1}{x_1{q}^{n-1}}\cdot x_1{q}^{n-2}=q^{n-2-n+1}=q^{-1}$

Таким образом, данная последовательность является геометрической прогрессией.