§10. Геометрическая прогрессия — Дополнительные упражнения к параграфу 9 — 653 — стр. 184

Так как образованные треугольники подобны, мы можем использовать свойство подобных треугольников относительно их сторон. Пусть длины сторон первого треугольника образуют арифметическую прогрессию \((x_n)\) с первым членом \(x_1\) и разностью \(d = x_1\). Тогда:
\(x_2 = x_1 + d = 2x_1\)
\(x_3 = x_1 + 2d = 3x_1\)
Длины параллельных отрезков также образуют арифметическую прогрессию \((l_n)\) с первым членом \(l_1 = 3\):
\(l_2 = l_1 \cdot \frac{x_2}{x_1} = 3 \cdot 2 = 6\)
\(l_3 = l_2 \cdot \frac{x_3}{x_2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9\)
\(d = l_3 - l_2 = l_2 - l_1 = 3\)
Теперь мы можем найти сумму длин двенадцати отрезков, используя формулу суммы арифметической прогрессии:
\(S_{12} = \frac{2l_1 + 11d}{2} \cdot 12 = 6(2 \cdot 3 + 11 \cdot 3) = 234 \text{см}\)
Таким образом, сумма длин двенадцати отрезков равна 234 см.