§10. Геометрическая прогрессия — Дополнительные упражнения к параграфу 9 — 659 — стр. 185

Имеем арифметическую прогрессию с начальным членом \(x_1 = 1\) и разностью \(d = 1\). Используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\(S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n=\frac{1+1+1\cdot(n-1)}{2}\cdot n= \frac{1 + n}{2} \cdot n\)

Подставим значения и решим уравнение:

\(5x_{n+1} = S_n \)

\(5(x_1+d(n + 1 - 1)) = S_n\)

\(5+5n=\frac{1 + n}{2} \cdot n\)

\(5 = \frac{n}{2}\)

Отсюда получаем \(n = 10\), а следовательно \(x_{n+1} = n + 1 = 11\).

Для той же арифметической прогрессии с \(x_1 = 1\) и \(d = 1\) воспользуемся формулой суммы:

\(S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n=\frac{1+1+1\cdot(n-1)}{2}\cdot n= \frac{1 + n}{2} \cdot n\)

\(x_{n+1} = S_n \)

\(x_1 + d(n+1-1) = S_n\)

\(1+n=\frac{1 + n}{2} \cdot n\)

Решая уравнение, получаем \(n = 2\), и затем находим \(x_{n+1} = n + 1 = 3\).