§10. Геометрическая прогрессия — Дополнительные упражнения к параграфу 9 — 661 — стр. 185

Рассмотрим первое уравнение:

$\frac{x\cdot x^2\cdot x^3\cdot \dots \cdot x^n}{x\cdot x^3\cdot x^5\cdot \dots \cdot x^{2n-1}}=\frac{x^{1+2+3+\dots +n}}{x^{1+3+5+\dots +2n-1}}$

Для начала, давайте определим общий член арифметической прогрессии для числителя и знаменателя:

1) Для числителя: $z_1=1,z_2=2$, а шаг $d=1$. Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{z_1+z_n}{2}\cdot n=\frac{2+n-1}{2}\cdot n=\frac{n(n+1)}{2}$

2) Для знаменателя: $z_1=1,z_2=3$, а шаг $d=2$. Теперь определим общий член $z_k$:

$z_k=2n-1=z_1+d(k-1)=1+2k-2=2k-1$

Подставим $k=n$ и выразим сумму:

$(S_k=\frac{z_1+z_k}{2}\cdot k=\frac{2z_1+d(n-1)}{2}\cdot n=n^2$

Теперь, подставим значения сумм в изначальное выражение:

$\frac{x\cdot x^2\cdot x^3\cdot \dots \cdot x^n}{x\cdot x^3\cdot x^5\cdot \dots \cdot x^{2n-1}}=\frac{x^{\frac{n^2+n}{2}}}{x^{n^2}}=x^{\frac{n^2+n-2n^2}{2}}=x^{\frac{n-n^2}{2}}$.

Рассмотрим второе уравнение:

$\frac{x^2\cdot x^4\cdot x^6\cdot \dots \cdot x^{2n}}{x\cdot x^2\cdot x^3\cdot \dots \cdot x^n}=\frac{x^{2+4+6+\dots +2n}}{x^{1+2+3+\dots +n}}=\frac{(x^{1+2+3+\dots +n}{)}^2}{x^{1+2+3+\dots +n}}=x^{1+2+3+\dots +n}=x^{\frac{n(n+1)}{2}}$.