§10. Геометрическая прогрессия — Дополнительные упражнения к параграфу 9 — 661 — стр. 185

Рассмотрим первое уравнение:

\( \frac{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n}{x \cdot x^3 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{2 n-1}}=\frac{x^{1+2+3+\ldots+n}}{x^{1+3+5+\ldots+2 n-1}} \)

Для начала, давайте определим общий член арифметической прогрессии для числителя и знаменателя:

1) Для числителя: \(z_1 = 1, z_2 = 2\), а шаг \(d = 1\). Используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{z_1 + z_n}{2} \cdot n = \frac{2 + n - 1}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2} \)

2) Для знаменателя: \(z_1 = 1, z_2 = 3\), а шаг \(d = 2\). Теперь определим общий член \(z_k\):

\( z_k = 2n - 1 = z_1 + d(k-1) = 1 + 2k - 2 = 2k - 1 \)

Подставим \(k = n\) и выразим сумму:

\((S_k = \frac{z_1 + z_k}{2} \cdot k = \frac{2z_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = n^2 \)

Теперь, подставим значения сумм в изначальное выражение:

\( \frac{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n}{x \cdot x^3 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{2 n-1}} = \frac{x^{\frac{n^2+n}{2}}}{x^{n^2}} = x^{\frac{n^2+n-2n^2}{2}} = x^{\frac{n-n^2}{2}} \).

Рассмотрим второе уравнение:

\( \frac{x^2 \cdot x^4 \cdot x^6 \cdot \ldots \cdot x^{2n}}{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n} = \frac{x^{2+4+6+\ldots+2n}}{x^{1+2+3+\ldots+n}} = \frac{(x^{1+2+3+\ldots+n})^2}{x^{1+2+3+\ldots+n}} = x^{1+2+3+\ldots+n} = x^{\frac{n(n+1)}{2}} \).