§10. Геометрическая прогрессия — Дополнительные упражнения к параграфу 9 — 663 — стр. 185

Имеем формулу для суммы арифметической прогрессии: $S_n=\frac{2x_1+(n-1)d}{2}\cdot n$
Подставим значения: $S_{10}=\frac{2x_1+9d}{2}\cdot 10$
Утверждается, что эта сумма равна 100. Решим уравнение:
$\frac{2x_1+9d}{2}\cdot 10=100$
Упростим уравнение:
$2x_1+9d=20$
Теперь рассмотрим сумму для $n=30$: $S_{30}=\frac{2x_1+29d}{2}\cdot 30$
Утверждается, что эта сумма равна 900. Решим уравнение:
$\frac{2x_1+29d}{2}\cdot 30=900$
Упростим уравнение:
$2x_1+29d=60$
Теперь система уравнений:
$\{\begin{array}{l}2x_1+9d=20\\ 2x_1+29d=60\end{array}$
Решим систему:
$\{\begin{array}{l}2x_1+9d=20\\ 20d=40\end{array}$
Отсюда получаем:
$\{\begin{array}{l}d=2\\ x_1=1\end{array}$
Теперь, когда мы знаем значения $d$ и $x_1$, можем найти сумму для $n=40$:
$S_{40}=\frac{2x_1+39d}{2}\cdot 40=20(2+39\cdot 2)=1600$.