§10. Геометрическая прогрессия — Дополнительные упражнения к параграфу 9 — 663 — стр. 185

Имеем формулу для суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2x_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\)
Подставим значения: \(S_{10} = \frac{2x_1 + 9d}{2} \cdot 10\)
Утверждается, что эта сумма равна 100. Решим уравнение:
\(\frac{2x_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 100\)
Упростим уравнение:
\(2x_1 + 9d = 20\)
Теперь рассмотрим сумму для \(n = 30\): \(S_{30} = \frac{2x_1 + 29d}{2} \cdot 30\)
Утверждается, что эта сумма равна 900. Решим уравнение:
\(\frac{2x_1 + 29d}{2} \cdot 30 = 900\)
Упростим уравнение:
\(2x_1 + 29d = 60\)
Теперь система уравнений:
\(\begin{cases}2x_1 + 9d = 20 \\ 2x_1 + 29d = 60\end{cases}\)
Решим систему:
\(\begin{cases}2x_1 + 9d = 20 \\ 20d = 40\end{cases}\)
Отсюда получаем:
\(\begin{cases}d = 2 \\ x_1 = 1\end{cases}\)
Теперь, когда мы знаем значения \(d\) и \(x_1\), можем найти сумму для \(n = 40\):
\(S_{40} = \frac{2x_1 + 39d}{2} \cdot 40 = 20(2 + 39 \cdot 2) = 1600\).