§10. Геометрическая прогрессия — Дополнительные упражнения к параграфу 9 — 664 — стр. 185

Исходное уравнение для суммы арифметической прогрессии имеет вид: $S_n=\frac{2x_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Для $n=20$: $S_{20}=\frac{2x_1+19d}{2}\cdot 20=1000$. Получаем уравнение:

$2x_1+19d=100$

Также для $n=40$: $S_{40}=\frac{2x_1+39d}{2}\cdot 40=10000$. Получаем уравнение:

$2x_1+39d=500$

Решая систему уравнений:

$\{\begin{array}{l}2x_1+19d=100\\ 2x_1+39d=500\end{array}$

Получаем:

$\{\begin{array}{l}20d=400\\ 2x_1+19d=100\end{array}$

Отсюда:

$\{\begin{array}{l}d=20\\ x_1=-140\end{array}$

Таким образом, наши значения подходят для $n=50$: $x_{50}=x_1+49d=-140+49\cdot 20=840$.

Теперь рассмотрим случай для $n=5$: $S_5=\frac{2x_1+4d}{2}\cdot 5=0,5$. Получаем уравнение:

$x_1+2d=0,1$

Также для $n=15$: $S_{15}=\frac{2x_1+14d}{2}\cdot 15=-81$. Получаем уравнение:

$x_1+7d=-5,4$

Решая систему уравнений:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+2d=0,1\\ x_1+7d=-5,4\end{array}$

Получаем:

$\{\begin{array}{l}5d=-5,5\\ x_1+2d=0,1\end{array}$

Отсюда:

$\{\begin{array}{l}d=-1,1\\ x_1=2,3\end{array}$

Таким образом, наши значения подходят для $n=50$: $x_{50}=x_1+49d=2,3-1,1\cdot 49=-51,6$.