§10. Геометрическая прогрессия — Дополнительные упражнения к параграфу 9 — 664 — стр. 185

Исходное уравнение для суммы арифметической прогрессии имеет вид: \(S_n = \frac{2x_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\)

Для \(n = 20\): \(S_{20} = \frac{2x_1 + 19d}{2} \cdot 20 = 1000\). Получаем уравнение:

\(2x_1 + 19d = 100\)

Также для \(n = 40\): \(S_{40} = \frac{2x_1 + 39d}{2} \cdot 40 = 10000\). Получаем уравнение:

\(2x_1 + 39d = 500\)

Решая систему уравнений:

\(\begin{cases}2x_1 + 19d = 100 \\ 2x_1 + 39d = 500\end{cases}\)

Получаем:

\(\begin{cases}20d = 400 \\ 2x_1 + 19d = 100\end{cases}\)

Отсюда:

\(\begin{cases}d = 20 \\ x_1 = -140\end{cases}\)

Таким образом, наши значения подходят для \(n = 50\): \(x_{50} = x_1 + 49d = -140 + 49 \cdot 20 = 840\).

Теперь рассмотрим случай для \(n = 5\): \(S_5 = \frac{2x_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 0,5\). Получаем уравнение:

\(x_1 + 2d = 0,1\)

Также для \(n = 15\): \(S_{15} = \frac{2x_1 + 14d}{2} \cdot 15 = -81\). Получаем уравнение:

\(x_1 + 7d = -5,4\)

Решая систему уравнений:

\(\begin{cases}x_1 + 2d = 0,1 \\ x_1 + 7d = -5,4\end{cases}\)

Получаем:

\(\begin{cases}5d = -5,5 \\ x_1 + 2d = 0,1\end{cases}\)

Отсюда:

\(\begin{cases}d = -1,1 \\ x_1 = 2,3\end{cases}\)

Таким образом, наши значения подходят для \(n = 50\): \(x_{50} = x_1 + 49d = 2,3 - 1,1 \cdot 49 = -51,6\).