§10. Геометрическая прогрессия — Дополнительные упражнения к параграфу 9 — 667 — стр. 185

Начнем с вычисления первых трех членов последовательности:

\( x_1 = S_1 = -1^2 + 3 \cdot 1 = 2 \)

\( x_2 = S_2 - x_1 = -2^2 + 3 \cdot 2 - 2 = 0 \)

\( x_3 = S_3 - S_2 = -3^2 + 3 \cdot 3 - 2 = -2 \)

Определим разность между соседними членами, \(d\):

\( d = x_3 - x_2 = x_2 - x_1 = 0 - 2 = -2 \)

Таким образом, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Рассмотрим последовательность, где в формуле суммы есть слагаемое, не зависящее от \(n\). Это указывает на то, что последовательность не является арифметической прогрессией. Следовательно, в данном случае последовательность не является арифметической прогрессией.

\(x_1=S_1=2 \cdot 1^2-1=1\)

\(x_2=S_2-x_1=2 \cdot 2^2-1-1=6\)

\(x_3=S_3-S_2=2 \cdot 3^2-1-7=10\)

\(x_3-x_2 \neq x_2-x_1\).

Рассмотрим последовательность, в которой также присутствует слагаемое, не зависящее от \(n\). Вычислим первые три члена:

\( x_1 = S_1 = 1^2 + 2 \cdot 1 - 8 = -5 \)

\( x_2 = S_2 - x_1 = 2^2 + 2 \cdot 2 - 8 - (-5) = 5 \)

\( x_3 = S_3 - S_2 = 3^2 + 2 \cdot 3 - 8 - 0 = 7 \)

Опять же, разность между соседними членами не постоянна, следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Наконец, рассмотрим последовательность, в которой также присутствует слагаемое, не зависящее от \(n\). Вычислим первые три члена:

\( x_1 = S_1 = 6 \cdot 1 + 5 = 11 \)

\( x_2 = S_2 - x_1 = 6 \cdot 2 + 5 - 11 = 6 \)

\( x_3 = S_3 - S_2 = 6 \cdot 3 + 5 - 17 = 6 \)

Также заметим, что разность между соседними членами не постоянна, и данная последовательность не является арифметической прогрессией.