§4. Квадратичная функция и ее график — Дополнительные упражнения к параграфу 3 — 187 — стр. 68

Дано: \(f(x), g(x)\) - чётные функции

Доказать: \(h(x)=f(x) \cdot g(x)\) - чётная функция

Рассмотрим функции \(f(x)\) и \(g(x)\), где обе являются чётными функциями. Теперь рассмотрим их произведение: \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\).

Подставим \(-x\) в выражение для \(h(x)\):

\(h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)\)

Используем свойства чётности функций:

\(h(-x) = f(x) \cdot g(x) = h(x)\)

Таким образом, мы получили, что \(h(-x) = h(x)\), что является свойством чётных функций.

Итак, произведение двух чётных функций \(f(x)\) и \(g(x)\) является чётной функцией \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\).

Дано: \(f(x), g(x)\) - нечётные функции

Доказать: \(h(x)=f(x) \cdot g(x)\) - чётная функция

Рассмотрим функции \(f(x)\) и \(g(x)\), где обе являются нечётными функциями. Теперь рассмотрим их произведение: \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\).

Подставим \(-x\) в выражение для \(h(x)\):

\(h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)\)

Используем свойства нечётности функций:

\(h(-x) = -f(x) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = h(x)\)

Таким образом, мы получили, что \(h(-x) = h(x)\), что является свойством чётных функций.

Итак, произведение двух нечётных функций \(f(x)\) и \(g(x)\) является чётной функцией \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\).

Дано: \(f(x)\) - чётная функция, \(g(x)\) - нечётная функция

Доказать: \(h(x)=f(x) \cdot g(x)\) - нечётная функция

Рассмотрим функции \(f(x)\) и \(g(x)\), где \(f(x)\) - чётная функция, и \(g(x)\) - нечётная функция. Теперь рассмотрим их произведение: \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\).

Подставим \(-x\) в выражение для \(h(x)\):

\(h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)\)

Используем свойства чётности и нечётности функций:

\(h(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -f(x) \cdot g(x) = -h(x)\)

Таким образом, мы получили, что \(h(-x) = -h(x)\), что является свойством нечётных функций.

Итак, произведение чётной и нечётной функций \(f(x)\) и \(g(x)\) является нечётной функцией \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\).