§4. Квадратичная функция и ее график — Дополнительные упражнения к параграфу 4 — 209 — стр. 70

Нули функции - числа 3 и 4. Нули функции соответствуют значениям \(x\), при которых функция равна нулю. Таким образом, у нас есть два уравнения:

\( (x - 3)(x - 4) = 0 \)

Раскрыв скобки, получаем:

\( x^2 - 7x + 12 = 0 \)

Сравнивая с общим видом квадратичной функции, получаем \(p = -7\) и \(q = 12\).

График функции пересекает оси координат в точках \((0; 6)\) и \((2; 0)\). Это означает, что при \(x = 0\) значение функции \(y\) равно 6, и при \(x = 2\) значение функции \(y\) равно 0. Подставляем эти значения в уравнение функции:

\( y = x^2 + px + q \)

\( 6 = 0^2 + 0 \cdot p + q \)

\( q = 6 \)

\( 0 = 2^2 + 2p + 6 \)

\( 0 = 4 + 2p + 6 \)

\( 2p = -10 \)

\( p = -5 \)

Таким образом, \(p = -5\) и \(q = 6\).

Наименьшее значение, равное 24, функция принимает при \(x = 6\). Это означает, что вершина параболы, задаваемой функцией, находится в точке \((6, 24)\). Используя формулу для координат вершины \(x_0 = -\frac{p}{2}\), мы можем найти \(p\):

\( 6 = -\frac{p}{2} \)

\( p = -12 \)

Теперь, используя найденное значение \(p\), мы можем найти \(q\) из условия, что наименьшее значение функции равно 24:

\( 24 = 6^2 - 12 \cdot 6 + q \)

\( 24 = 36 - 72 + q \)

\( q = 60 \)

Таким образом, \(p = -12\) и \(q = 60\).