§5. Уравнения с одной переменной — 13. Целое уравнение и его корни — 221 — стр. 77

\((2x^{2}+3)^{2}-12(2x^{2}+3)+11=0\)

Введем новую переменную \(z = 2x^2 + 3\).

Тогда уравнение примет вид:

\(z^2 - 12z + 11 = 0\)

Решим квадратное уравнение для \(z\):

\(z_{1,2}=\frac{12 \pm \sqrt{144-44}}{2}\)

\(z_1=11, \quad z_2=1\)

Теперь решим уравнения для \(x\) относительно \(z\):

1. \(2x^{2}+3=11\):

\(2x^2 = 8, \quad x^2 = 4, \quad x_{1,2} = \pm 2\)

2. \(2x^{2}+3=1\):

\(2x^2 = -2\)

Это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: \(x_1 = 2, \quad x_2 = -2\).

\((t^{2}-2t)^{2}-3=2(t^{2}-2t)\)

Введем новую переменную \(z = t^2 - 2t\).

Тогда уравнение примет вид:

\(z^2 - 3 - 2z = 0\)

Решим квадратное уравнение для \(z\):

\(z_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}\)

\(z_1=3, \quad z_2=-1\)

Теперь решим уравнения для \(t\) относительно \(z\):

1. \(t^{2}-2t=3\):

\(t^2 - 2t - 3 = 0\)

Решим квадратное уравнение, получим \(t_1 = 3\) и \(t_2 = -1\).

2. \(t^{2}-2t=-1\):

\(t^2 - 2t + 1 = 0\)

Это уравнение имеет единственный корень \(t_3 = 1\).

Ответ: \(t_1 = 3, \quad t_2 = -1, \quad t_3 = 1\).

\((x^{2}+x-1)(x^{2}+x+2)=40\)

Введем новую переменную \(z = x^2 + x - 1\).

Тогда уравнение примет вид:

\(z(z + 3) = 40\)

Решим квадратное уравнение для \(z\):

\(z^2 + 3z - 40 = 0\)

\(z_{1,2}=\frac{-3 \pm \sqrt{9+160}}{2}\)

\(z_1=5, \quad z_2=-8\)

Теперь решим уравнения для \(x\) относительно \(z\):

1. \(x^{2}+x-1=5\):

\(x^2 + x - 6 = 0\)

Решим квадратное уравнение, получим \(x_{1,2} = 2, -3\).

2. \(x^{2}+x-1=-8\):

\(x^2 + x + 7 = 0\)

Это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: \(x_1 = 2, \quad x_2 = -3\).

\((2x^{2}+x-1)(2x^{2}+x-4)+2=0\)

Введем новую переменную \(z = 2x^{2}+x-1\).

Тогда уравнение примет вид:

\(z(z - 3) + 2 = 0\)

Решим квадратное уравнение для \(z\):

\(z^2 - 3z + 2 = 0\)

\(z_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}\)

\(z_1=2, \quad z_2=1\)

Теперь решим уравнения для \(x\) относительно \(z\):

1. \(2x^{2}+x-1=2\):

\(2x^2 + x - 3 = 0\)

Решим квадратное уравнение, получим \(x_{1,2} = 1, -1.5\).

2. \(2x^{2}+x-1=1\):

\(2x^2 + x - 2 = 0\)

Решим квадратное уравнение, получим \(x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}\).

Ответ: \(x_1 = 1, \quad x_2 = -1.5, \quad x_3 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}, \quad x_4 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}\).