§5. Уравнения с одной переменной — 13. Целое уравнение и его корни — 222 — стр. 78

\((x^{2}+3)^{2}-11(x^{2}+3)+28=0\)

Введем новую переменную \(z = x^2 + 3\).

Тогда уравнение примет вид:

\(z^2 - 11z + 28 = 0\)

Решим квадратное уравнение для \(z\):

\(z_{1,2}=\frac{11 \pm \sqrt{121-112}}{2}\)

\(z_1=7, \quad z_2=4\)

Теперь решим уравнения для \(x\) относительно \(z\):

1. \(x^{2}+3=7\):

\(x^2 = 4, \quad x_{1,2} = \pm 2\)

2. \(x^{2}+3=4\):

\(x^2 = 1, \quad x_{3,4} = \pm 1\)

Ответ: \(x_1 = 2, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 1, \quad x_4 = -1\).

\((x^{2}-4x)^{2}+9(x^{2}-4x)+20=0\)

Введем новую переменную \(z = x^{2}-4x\).

Тогда уравнение примет вид:

\(z^2 + 9z + 20 = 0\)

Решим квадратное уравнение для \(z\):

\(z_{1,2}=\frac{-9 \pm \sqrt{81-80}}{2}\)

\(z_1=-4, \quad z_2=-5\)

Теперь решим уравнения для \(x\) относительно \(z\):

1. \(x^{2}-4x=-4\):

\((x-2)^2 = 0\)\(x_1 = 2\)

2. \(x^{2}-4x=-5\):

\(D = 16 - 20 = -4 < 0\)

Это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: \(x_1 = 2\).

\((x^{2}+x)(x^{2}+x-5)=84\)

Введем новую переменную \(z = x^2 + x\).

Тогда уравнение примет вид:

\(z(z-5) = 84\)

Решим квадратное уравнение для \(z\):

\(z^2 - 5z - 84 = 0\)

\(z_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{25+336}}{2}\)

\(z_1=12, \quad z_2=-7\)

Теперь решим уравнения для \(x\) относительно \(z\):

1. \(x^{2}+x=12\):

\(x^2 + x - 12 = 0\)\(x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+48}}{2}\)\(x_1 = 3, \quad x_2 = -4\)

2. \(x^{2}+x=-7\):

\(D = 1 - 28 = -27 < 0\)

Это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: \(x_1 = 3, \quad x_2 = -4\).