§5. Уравнения с одной переменной — 13. Целое уравнение и его корни — 223 — стр. 78

\(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\)

Заменяем переменную: \(z = x^2\).

Получаем уравнение: \(z^2 - 5z - 36 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: \(z_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}\).

Получаем два значения для \(z\): \(z_1 = 9\) и \(z_2 = -4\).

Поскольку \(z\) должно быть неотрицательным, отбрасываем \(z_2\).

Решаем \(x^2 = 9\), получаем два значения: \(x_{1,2} = \pm 3\).

Таким образом, корни уравнения \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\) это \(x = \pm 3\).

\(y^4 - 6y^2 + 8 = 0\)

Заменяем переменную: \(z = y^2\).

Получаем уравнение: \(z^2 - 6z + 8 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: \(z_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}\).

Получаем два значения для \(z\): \(z_1 = 4\) и \(z_2 = 2\).

Решаем \(y^2 = 4\), получаем два значения: \(y_{1,2} = \pm 2\).

Решаем \(y^2 = 2\), получаем два значения: \(y_{3,4} = \pm \sqrt{2}\).

Таким образом, корни уравнения \(y^4 - 6y^2 + 8 = 0\) это \(y = \pm 2\) и \(y = \pm \sqrt{2}\).

\(t^4 + 10t^2 + 25 = 0\)

Заменяем переменную: \(z = t^2\).

Получаем уравнение: \(z^2 + 10z + 25 = 0\).

Факторизуем: \((z + 5)^2 = 0\).

Получаем одно значение \(z = -5\), но оно не удовлетворяет условию \(z \geq 0\).

Таким образом, у уравнения \(t^4 + 10t^2 + 25 = 0\) нет действительных корней.

\(4x^4 - 5x^2 + 1 = 0\)

Заменяем переменную: \(z = x^2\).

Получаем уравнение: \(4z^2 - 5z + 1 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: \(z_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8}\).

Получаем два значения для \(z\): \(z_1 = 1\) и \(z_2 = \frac{1}{4}\).

Решаем \(x^2 = 1\), получаем два значения: \(x_{1,2} = \pm 1\).

Решаем \(x^2 = \frac{1}{4}\), получаем два значения: \(x_{3,4} = \pm \frac{1}{2}\).

Таким образом, корни уравнения \(4x^4 - 5x^2 + 1 = 0\) это \(x = \pm 1\) и \(x = \pm \frac{1}{2}\).

\(9x^4 - 9x^2 + 2 = 0\)

Заменяем переменную: \(z = x^2\).

Получаем уравнение: \(9z^2 - 9z + 2 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: \(z_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{18}\).

Получаем два значения для \(z\): \(z_1 = \frac{2}{3}\) и \(z_2 = \frac{1}{3}\).

Решаем \(x^2 = \frac{2}{3}\), получаем два значения: \(x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Решаем \(x^2 = \frac{1}{3}\), получаем два значения: \(x_{3,4} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Таким образом, корни уравнения \(9x^4 - 9x^2 + 2 = 0\) это \(x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\) и \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\).

\(16y^4 - 8y^2 + 1 = 0\)

Заменяем переменную: \(z = y^2\).

Получаем уравнение: \(16z^2 - 8z + 1 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: \(z_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{32}\).

Получаем одно значение для \(z\): \(z = \frac{1}{4}\).

Решаем \(y^2 = \frac{1}{4}\), получаем два значения: \(y_{1,2} = \pm \frac{1}{2}\).

Таким образом, корни уравнения \(16y^4 - 8y^2 + 1 = 0\) это \(y = \pm \frac{1}{2}\).