§5. Уравнения с одной переменной — 13. Целое уравнение и его корни — 224 — стр. 78

\(x^4 - 25x^2 + 144 = 0\)

Заменяем переменную: \(z = x^2\).

Получаем уравнение: \(z^2 - 25z + 144 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: \(z_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576}}{2}\).

Получаем два значения для \(z\): \(z_1 = 16\) и \(z_2 = 9\).

Решаем \(x^2 = 16\), получаем два значения: \(x_{1,2} = \pm 4\).

Решаем \(x^2 = 9\), получаем два значения: \(x_{3,4} = \pm 3\).

Таким образом, корни уравнения \(x^4 - 25x^2 + 144 = 0\) это \(x = \pm 4\) и \(x = \pm 3\).

\(y^4 + 14y^2 + 48 = 0\)

Заменяем переменную: \(z = y^2\).

Получаем уравнение: \(z^2 + 14z + 48 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: \(z_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}\).

Получаем два значения для \(z\): \(z_1 = -6\) и \(z_2 = -8\).

Оба значения \(z\) не соответствуют условию \(z \geq 0\), поэтому корней нет.

\(x^4 - 4x^2 + 4 = 0\)

Заменяем переменную: \(z = x^2\).

Получаем уравнение: \(z^2 - 4z + 4 = 0\).

Факторизуем: \((z - 2)^2 = 0\).

Получаем одно значение \(z = 2\).

Решаем \(x^2 = 2\), получаем два значения: \(x_{1,2} = \pm \sqrt{2}\).

Таким образом, корни уравнения \(x^4 - 4x^2 + 4 = 0\) это \(x = \pm \sqrt{2}\).

\(t^4 - 2t^2 - 3 = 0\)

Заменяем переменную: \(z = t^2\).

Получаем уравнение: \(z^2 - 2z - 3 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: \(z_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}\).

Получаем два значения для \(z\): \(z_1 = 3\) и \(z_2 = -1\).

Выбираем только положительное значение \(z\), таким образом, \(z = 3\).

Решаем \(t^2 = 3\), получаем два значения: \(t_{1,2} = \pm \sqrt{3}\).

Таким образом, корни уравнения \(t^4 - 2t^2 - 3 = 0\) это \(t = \pm \sqrt{3}\).

\(2x^4 - 9x^2 + 4 = 0\)

Заменяем переменную: \(z = x^2\).

Получаем уравнение: \(2z^2 - 9z + 4 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: \(z_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4}\).

Получаем два значения для \(z\): \(z_1 = 4\) и \(z_2 = \frac{1}{2}\).

Решаем \(x^2 = 4\), получаем два значения: \(x_{1,2} = \pm 2\).

Решаем \(x^2 = \frac{1}{2}\), получаем два значения: \(x_{3,4} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Таким образом, корни уравнения \(2x^4 - 9x^2 + 4 = 0\) это \(x = \pm 2\) и \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\).

\(5y^4 - 5y^2 + 2 = 0\)

Заменяем переменную: \(z = y^2\).

Получаем уравнение: \(5z^2 - 5z + 2 = 0\).

Дискриминант \(D = 25 - 4 \cdot 10 = -15 < 0\), значит, корней нет.