§5. Уравнения с одной переменной — 13. Целое уравнение и его корни — 228 — стр. 78

\(x^5+x^4-6 x^3-6 x^2+5 x+5=0\)

Разложим уравнение:

\(x^4(x+1)-6 x^2(x+1)+5(x+1)=0\)

\((x+1)(x^4-6 x^2+5)=0\)

Теперь у нас два уравнения: \(x+1=0\) или \(x^4-6 x^2+5=0\).

1. \(x+1=0\): \(x_1=-1\).

2. Для уравнения \(x^4-6 x^2+5=0\):

Проведем замену переменной \(z = x^2\):

\(z^2-6z+5=0\)

\(z_{1,2}=\frac{6 \pm \sqrt{36-20}}{2}\)

Получаем два значения для \(z\): \(z_1=5\) и \(z_2=1\).

Теперь вернемся к переменной \(x^2\):

Для \(z=5\): \(x_{2,3}=\pm \sqrt{5}\).

Для \(z=1\): \(x_{4,5}=\pm 1\).

Таким образом, корни уравнения: \(x_1=\sqrt{5}, x_2=-\sqrt{5}, x_3=1, x_4=-1\).

\(x^5-x^4-2 x^3+2 x^2-3 x+3=0\)

Разложим уравнение:

\(x^4(x-1)-2 x^2(x-1)-3(x-1)=0\)

\((x-1)(x^4-2 x^2-3)=0\)

Теперь у нас два уравнения: \(x-1=0\) или \(x^4-2 x^2-3=0\).

1. \(x-1=0\): \(x_1=1\).

2. Для уравнения \(x^4-2 x^2-3=0\):

Проведем замену переменной \(z = x^2\):

\(z^2-2z-3=0\)

\(z_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}\)

Получаем два значения для \(z\): \(z_1=3\) и \(z_2=-1\).

Так как \(z_2=-1\) не соответствует условию \(z \geq 0\), отбросим его.

Теперь вернемся к переменной \(x^2\):

Для \(z=3\): \(x_{2,3}=\pm \sqrt{3}\).

Таким образом, корни уравнения: \(x_1=1, x_2=\sqrt{3}, x_3=-\sqrt{3}\).