§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 233 — стр. 82

\(\frac{a^3-9a}{a^2+a-12}\)

Область допустимых значений: \(a^2 + a - 12 \neq 0\)

Факторизуем знаменатель:

\((a - 3)(a + 4) \neq 0\)

Таким образом, \(a \neq 3\) и \(a \neq -4\).

Теперь рассмотрим числитель:

\(a^3 - 9a = a(a^2 - 9) = a(a - 3)(a + 3)\)

Значение дроби равно нулю при \(a = -3\) и \(a = 0\), но учтем, что \(a \neq 3\) и \(a \neq -4\).

Ответ: \(a = -3\) и \(a = 0\).

\(\frac{a^5+2a^4}{a^3+a+10}\)

Область допустимых значений: \(a^3 + a + 10 \neq 0\)

Рассмотрим числитель:

\(a^5 + 2a^4 = a^4(a + 2)\)

Знаменатель:

\(a^3 + a + 10\)

Как мы выяснили ранее, знаменатель не обращается в нуль. Значение дроби будет равно нулю только при \(a = 0\).

Ответ: \(a = 0\).

\(\frac{a^5-4a^4+4a^3}{a^4-16}\)

Область допустимых значений: \(a^4 - 16 \neq 0\)

Рассмотрим числитель:

\(a^5 - 4a^4 + 4a^3 = a^3(a - 2)^2\)

Знаменатель:

\(a^4 - 16 = (a^2 + 4)(a^2 - 4) = (a^2 + 4)(a - 2)(a + 2)\)

Как мы выяснили ранее, знаменатель не обращается в нуль. Значение дроби будет равно нулю только при \(a = 0\).

Ответ: \(a = 0\).