§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 234 — стр. 82

\(\frac{5y^{3}-15y^{2}-2y+6}{y^{2}-9}=0\)

Область допустимых значений: \(y^2-9 \neq 0\), т.е., \(y \neq \pm 3\).

\(\frac{5y^{3}-15y^{2}-2y+6}{y^{2}-9} = \frac{(y-3)(5y^2+13y-2)}{(y-3)(y+3)} = \frac{5y^2+13y-2}{y+3}\)

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

\(5y^2 + 13y - 2 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(y = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2)}}{2 \cdot 5}\)

\(y = \frac{-13 \pm \sqrt{169 + 40}}{10}\)

\(y = \frac{-13 \pm \sqrt{209}}{10}\)

Таким образом, уравнение равно нулю при \(y = \frac{-13 + \sqrt{209}}{10}\) и \(y = \frac{-13 - \sqrt{209}}{10}\), но учтем, что \(y \neq \pm 3\).

Ответ: \(y = \frac{-13 + \sqrt{209}}{10}\) и \(y = \frac{-13 - \sqrt{209}}{10}\).

\(\frac{3y^{3}-12y^{2}-y+4}{9y^{4}-1}=0\)

Область допустимых значений: \(9y^4-1 \neq 0\), т.е., \(y \neq \pm \frac{1}{\sqrt[4]{9}}\).

\(\frac{3y^{3}-12y^{2}-y+4}{9y^{4}-1} = \frac{(y-4)(3y^2-1)}{(3y^2+1)(3y^2-1)} = \frac{y-4}{3y^2+1}\)

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

\(y - 4 = 0\)

\(y = 4\)

Таким образом, уравнение равно нулю при \(y = 4\), но учтем, что \(y \neq \pm \frac{1}{\sqrt[4]{9}}\).

Ответ: \(y = 4\).

\(\frac{y^{3}-4y^{2}-6y+24}{y^{3}-6y}=0\)

Область допустимых значений: \(y^3 - 6y \neq 0\), т.е., \(y \neq 0, \pm \sqrt{6}\).

\(\frac{y^{3}-4y^{2}-6y+24}{y^{3}-6y} = \frac{(y-6)(y^2+2y-4)}{y(y^2+2y-4)} = \frac{y-6}{y}\)

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

\(y - 6 = 0\)

\(y = 6\)

Таким образом, уравнение равно нулю при \(y = 6\), но учтем, что \(y \neq 0, \pm \sqrt{6}\).

Ответ: \(y = 6\).