§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 236 — стр. 82

\(\frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}=\frac{12x+4}{x^2+2x-3}\)

Общий знаменатель для левой стороны равенства: \(x^2+2x-3\). Умножим каждую дробь на соответствующий множитель, чтобы привести к общему знаменателю:

\(\frac{(3x-2)(x+3)-(2x+3)(x-1)}{x^2+2x-3}-\frac{12x+4}{x^2+2x-3}=0\)

Упростим числитель и вынесем общий множитель:

\(\frac{x^2-6x-7}{x^2+2x-3}=0\)

Решив уравнение \(x^2-6x-7=0\), получим два корня \(x_1=7\) и \(x_2=-1\). Однако \(x=-1\) не входит в область допустимых значений (ОДЗ), так как это значение приводит к делению на ноль в исходном уравнении.

Ответ: \(x=7\).

\(\frac{5x-1}{x+7}-\frac{2x+2}{x-3}+\frac{63}{x^2+4x-21}=0\)

Общий знаменатель для левой стороны равенства: \(x^2+4x-21\). Умножим каждую дробь на соответствующий множитель:

\(\frac{(5x-1)(x-3)-(2x+2)(x+7)+63}{x^2+4x-21}=0\)

Упростим числитель и вынесем общий множитель:

\(\frac{3x^2-32x+52}{x^2+4x-21}=0\)

Решим уравнение \(3x^2-32x+52=0\) и найдем корни:

\(x_{1,2}=\frac{32\pm\sqrt{1024-624}}{6}\)

\(x_1=\frac{26}{3}=8\frac{2}{3}\)

\(x_2=2\)

Оба корня \(x=8\frac{2}{3}\) и \(x=2\) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x=8\frac{2}{3}, 2\).

\(\frac{x}{x^2+4x+4}=\frac{4}{x^2-4}-\frac{16}{x^3+2x^2-4x-8}\)

Приведем к общему знаменателю \((x+2)^2(x-2)(x+2)\):

\(\frac{x(x^2-4)-4(x+2)^2+16(x+2)}{(x+2)^2(x^2-4)}=0\)

Упростим числитель:

\(x(x^2-4)-4(x+2)^2+16(x+2) \\x^3-4x-4x^2-16x-16+16x+32 \\x^3-4x^2-4x+16=0\)

Факторизуем:

\((x-4)(x^2-4)=0\)

Решение \(x=4\) удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(x=4\).