§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 237 — стр. 83

$\frac{a+1}{a-2}+\frac{a-4}{a+1}=\frac{3a+3}{a^2-a-2}$

Общий знаменатель для левой стороны равенства: $a^2-a-2$. Умножим каждую дробь на соответствующий множитель, чтобы привести к общему знаменателю:

$\frac{(a+1{)}^2+(a-4)(a-2)}{a^2-a-2}=\frac{3a+3}{a^2-a-2}$

Упростим числитель и вынесем общий множитель:

$\frac{a^2+2a+1+(a-4)(a-2)}{a^2-a-2}=\frac{3a+3}{a^2-a-2}$

$\frac{a^2+2a+1+(a^2-6a+8)}{a^2-a-2}=0$

$\frac{2a^2-7a+9}{a^2-a-2}=0$

Решив уравнение $2a^2-7a+9=0$, получим два корня:

$$\begin{gathered} a_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{49-72}}{4} \\ {a}_1=2\text{ (не входит в ОДЗ)} \\ {a}_2=1,5 \end{gathered}$$

Ответ: При $a=1,5$.

$\frac{3a-5}{a^2-1}-\frac{6a-5}{a-a^2}=\frac{3a+2}{a^2+a}$

Общий знаменатель для левой стороны равенства: $a^2+a$. Умножим каждую дробь на соответствующий множитель:

$\frac{3a-5}{(a-1)(a+1)}-\frac{6a-5}{a(1-a)}-\frac{3a+2}{a(a+1)}=0$

Упростим числитель:

$\frac{(3a-5)a+(6a-5)(a+1)-(3a+2)(a-1)}{(a-1)(a+1)a}=0$

$\frac{3a^2-5a+6a^2-5a-5+6a-3a^2-2a+3a+2}{(a-1)(a+1)a}=0$

$\frac{6a^2-3a-3}{(a-1)(a+1)a}=0$

Решив уравнение $6a^2-3a-3=0$, получим два корня:

$$\begin{gathered} a_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1+72}}{4} \\ {a}_1=1\text{ (не входит в ОДЗ)} \\ {a}_2=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Ответ: При $a=-\frac{1}{2}$.