§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 238 — стр. 83

\(\frac{1}{x-7}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x-10}-\frac{1}{x-9}\)

Область допустимых значений: \(x \neq 7, x \neq 1, x \neq 10, x \neq 9\)

Умножим каждую дробь на общий знаменатель, чтобы привести к общему знаменателю \((x-7)(x-1)(x-10)(x-9)\):

\(\frac{((x-1)-(x-7))\left(x^2-19 x+90\right)-\left(x^2-8 x+7\right)((x-9)-(x-10))}{(x-7)(x-1)(x-10)(x-9)}=0\)

Упростим числитель:

\(\left(6 x^2-114 x+540\right)-\left(x^2-8 x+7\right)=0\)

Решив уравнение \(5 x^2-106 x+533=0\), получаем два корня:

\(x_{1,2}=\frac{106 \pm \sqrt{11236-10660}}{10} \\ x_1=13 \\ x_2=8,2\)

Ответ: \(x=13\) и \(x=8,2\).

\(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+9}=\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+21}\)

Область допустимых значений: \(x \neq -3, x \neq -9, x \neq -5, x \neq -21\)

Умножим каждую дробь на общий знаменатель, чтобы привести к общему знаменателю \((x+3)(x+9)(x+5)(x+21)\):

\(\frac{((x+9)-(x+3))(x+5)(x+21)-((x+21)-(x+5))(x+3)(x+9)}{(x+3)(x+9)(x+5)(x+21)}=0\)

Упростим числитель:

\(6\left(x^2+26 x+105\right)-16\left(x^2+12 x+27\right)=0\)

Решив уравнение \(-10 x^2-36 x+198=0\), получаем два корня:

\(x_{1,2}=\frac{-18 \pm \sqrt{324+1980}}{10} \\x_1=3 \\x_2=-6,6\)

Ответ: \(x=3\) и \(x=-6,6\).