§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 239 — стр. 83

\(\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-5}\)

Область допустимых значений: \(x \neq 4, x \neq 2, x \neq -4, x \neq 5\)

Умножим каждую дробь на общий знаменатель, чтобы привести к общему знаменателю \((x-4)(x-2)(x+4)(x-5)\):

\(\frac{((x-2)+(x-4))(x+4)(x-5)-((x-5)+(x+4))(x-4)(x-2)}{(x-4)(x-2)(x+4)(x-5)}=0\)

Упростим числитель:

\((2 x-6)\left(x^2-x-20\right)-(2 x-1)\left(x^2-6 x+8\right)=0\)

Решив уравнение \(5 x^2-56 x+128=0\), получаем два корня:

\(x_{1,2}=\frac{56 \pm \sqrt{3136-2560}}{10} \\x_1=8 \\x_2=3,2\)

Ответ: \(x=8\) и \(x=3,2\).

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{x+28}+\frac{1}{x}\)

Область допустимых значений: \(x \neq -1, x \neq -3, x \neq -28, x \neq 0\)

Умножим каждую дробь на общий знаменатель, чтобы привести к общему знаменателю \((x+1)(x+3)(x+28)x\):

\(\frac{((x+3)+(x+1))\left(x^2+28 x\right)-(x+x+28)(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x+28)x}=0\)

Упростим числитель:

\((2 x+4)\left(x^2+28 x\right)-(2 x+28)\left(x^2+4 x+3\right)=0\)

Решив уравнение \(4 x^2-x-14=0\), получаем два корня:

\(x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+224}}{8} \\x_1=2 \\x_2=-\frac{14}{8}=-1 \frac{3}{4}\)

Ответ: \(x=2\) и \(x=-1 \frac{3}{4}\).