§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 241 — стр. 83

Рассмотрим уравнение \( \frac{5a+7-28a^{2}}{20a} = a^{2} \) при условии \( a \neq 0 \).

Умножим обе стороны на 20a, чтобы избавиться от знаменателя:

\( 5a + 7 - 28a^{2} = 20a^{3} \)

Переносим все члены в одну сторону:

\( 20a^{3} + 28a^{2} - 5a - 7 = 0 \)

Факторизуем выражение:

\( (7 + 5a)(1 - 4a^{2}) = 0 \)

Отсюда получаем два уравнения:

\( 7 + 5a = 0 \)

\( 1 - 4a^{2} = 0 \)

Решаем каждое уравнение отдельно:

1) \( 7 + 5a = 0 \)

\( 5a = -7 \)

\( a = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} \)

2) \( 1 - 4a^{2} = 0 \)

\( 4a^{2} = 1 \)

\(a^{2} = \frac{1}{4} \)

\( a = \pm\frac{1}{2} \)

Таким образом, получаем три решения: \( a = -1\frac{2}{5}, a = \frac{1}{2}, a = -\frac{1}{2} \).

Рассмотрим уравнение \( \frac{2-18a^{2}-a}{3a} = -3a^{2} \) при условии \( a \neq 0 \).

Умножим обе стороны на 3a:

\( 2 - 18a^{2} - a + 9a^{3} = 0 \)

Переносим все члены в одну сторону:

\( 9a^{3} - 18a^{2} - a + 2 = 0 \)

Факторизуем выражение:

\( (a - 2)(9a^{2} - 1) = 0 \)

Отсюда получаем два уравнения:

1) \( a - 2 = 0 \)

\( a = 2 \)

2) \( 9a^{2} - 1 = 0 \)

\( 9a^{2} = 1 \)

\( a^{2} = \frac{1}{9} \)

\( a = \pm\frac{1}{3} \)

Таким образом, получаем три решения: \( a = 2, a = \frac{1}{3}, a = -\frac{1}{3} \).