Алгебра
2023
(Для работы в парах.) Решите уравнение, используя введение новой переменной:
a) \(\frac{12}{x^{2}-2x+3}=x^{2}-2x-1\);
б) \(\frac{12}{x^{2}+x-10}-\frac{6}{x^{2}+x-6}=\frac{5}{x^{2}+x-11}\);
в) \(\frac{16}{x^{2}-2x}-\frac{11}{x^{2}-2x+3}=\frac{9}{x^{2}-2x+1}\).
1) Выполните совместно задание а).
2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто - задание в), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли решены уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.
а
Уравнение \(\frac{12}{x^2-2x+3}=x^2-2x-1\) рассматривается в пределах \(x \in \mathbb{R}\) с условием, что знаменатель не равен нулю (\(x^2-2x+3 \neq 0\)).
Перепишем уравнение в виде \(x^2-2x-1=z\), где \(\frac{12}{z+4}=z\).
Решим уравнение для \(z\):
\( 12 - z^2 - 4z = 0 \)
\( z^2 + 4z - 12 = 0 \)
\( z_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+48}}{2} \)
\( z_1 = 2, \quad z_2 = -6 \)
Теперь подставим обратно в уравнение:
1. \(x^2-2x-1=2\)
\( x^2-2x-3=0 \)
\( x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} \)
\( x_1 = 3, \quad x_2 = -1 \)
2. \(x^2-2x-1=-6\)
\( x^2-2x+5=0 \)
\( D = 4-20 = -16 \text{ (отрицательный, корней нет)}\)
Таким образом, у нас два решения: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -1\).
Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\).
б
Уравнение \(\frac{12}{x^2+x-10}-\frac{6}{x^2+x-6}=\frac{5}{x^2+x-11}\) рассматривается в пределах \(\left\{x^2+x-10 \neq 0, x^2+x-6 \neq 0, x^2+x-11 \neq 0\right\}\).
Перепишем уравнение в виде \(x^2+x-10=z\), где \(\frac{12}{z}-\frac{6}{z+4}=\frac{5}{z-1}\).
Решим уравнение для \(z\):
\( z^2 + 22z - 48 = 0 \)
\( z_{1,2} = \frac{-22 \pm \sqrt{484+192}}{2} \)
\( z_1 = 2, \quad z_2 = -24 \)
Теперь подставим обратно в уравнение:
1. \(x^2+x-10=2\)
\( x^2+x-12=0 \)
\( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+48}}{2} \)
\( x_1 = 3, \quad x_2 = -4 \)
2. \(x^2+x-10=-24\)
\( x^2+x+14=0 \)
\( D = 1-56 = -55 \text{ (отрицательный, корней нет)}\)
Таким образом, у нас одно решение: \(x_1 = 3\).
Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -4\).
в
Уравнение \(\frac{16}{x^2-2x}-\frac{11}{x^2-2x+3}=\frac{9}{x^2-2x+1}\) рассматривается в пределах \(\left\{x^2-2x \neq 0, x^2-2x+3 \neq 0, x^2-2x+1 \neq 0\right\}\).
Перепишем уравнение в виде \(x^2-2x=z\), где \(\frac{16}{z}-\frac{11}{z+3}=\frac{9}{z+1}\).
Решим уравнение для \(z\):
\( -4z^2 + 26z + 48 = 0 \)
\( 2z^2 - 13z - 24 = 0 \)
\( z_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{169+192}}{4} \)
\( z_1 = 8, \quad z_2 = -\frac{3}{2} \)
Теперь подставим обратно в уравнение:
1. \(x^2-2x=8\)
\( x^2-2x-8=0 \)
\( x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+32}}{2} \)
\( x_1 = 4, \quad x_2 = -2 \)
2. \(x^2-2x=-\frac{3}{2}\)
\( 2x^2-4x+3=0 \)
\( D = 16-24 = -8 \text{ (отрицательный, корней нет)}\)
Таким образом, у нас одно решение: \(x_1 = 4\).
Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -2\).
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Математика за 9 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
(Для работы в парах.) Решите уравнение, используя введение новой переменной: a) \(\frac{12}{x^{2}-2x+3}=x^{2}-2x-1\); б) \(\frac{12}{x^{2}+x-10}-\frac{6}{x^{2}+x-6}=\frac{5}{x^{2}+x-11}\); в) \(\frac{16}{x^{2}-2x}-\frac{11}{x^{2}-2x+3}=\frac{9}{x^{2}-2x+1}\). 1) Выполните совместно задание а). 2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто - задание в), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли решены уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.
Еще решебники за 9 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 9 класс, которые могут быть Вам интересны.
