§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 243 — стр. 84

Уравнение \(\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2+16\left(\frac{x-4}{x+2}\right)^2=17\) рассматривается в пределах \(x \in \mathbb{R}\) с условием, что \(x \neq 4, x \neq -2\).

Перепишем уравнение в виде \(\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2=z\), где \(z \geq 0\):

\( z + \frac{16}{z} = 17 \)

\( z^2 + 16 - 17z = 0 \)

\( z_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{289-64}}{2} \)

\( z_1 = 1, \quad z_2 = 16 \)

Рассмотрим два случая:

1. \(\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2=1\)

\( \frac{x+2}{x-4} = \pm 1 \)

\(x+2=x-4\) (нет корней)

\(x+2=4-x \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x_1 = 1\)

2. \(\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2=16\)

\( \frac{x+2}{x-4} = \pm 4 \)

\(x+2=4x-16 \Rightarrow 3x=18 \Rightarrow x_2 = 6\)

\(x+2=-4x+16 \Rightarrow 5x=14 \Rightarrow x_3 = 2 \frac{4}{5}\)

Таким образом, у нас три решения: \(x_1 = 1, x_2 = 6, x_3 = 2 \frac{4}{5}\).

Ответ: \(x_1 = 1, x_2 = 6, x_3 = 2 \frac{4}{5}\).

Уравнение \(\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2+18\left(\frac{x-3}{x+1}\right)^2=11\) рассматривается в пределах \(x \in \mathbb{R}\) с условием, что \(x \neq 3, x \neq -1\).

Перепишем уравнение в виде \(\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2=z\), где \(z \geq 0\):

\( z + \frac{18}{z} = 11 \)

\( z^2 + 18 - 11z = 0 \)

\( z_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{121-72}}{2} \)

\( z_1 = 9, \quad z_2 = 2 \)

Рассмотрим два случая:

1. \(\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2=9\)

\( \frac{x+1}{x-3} = \pm 3 \)

\(x+1=3x-9 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x_1 = 5\)

\(x+1=-3x+9 \Rightarrow 4x=8 \Rightarrow x_2 = 2\)

2. \(\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2=2\)

\( \frac{x+1}{x-3} = \pm \sqrt{2} \)

\(x+1=\sqrt{2}x-3\sqrt{2}\) (решение для \(x\) нецелое)

\(x+1=-\sqrt{2}x+3\sqrt{2}\) (решение для \(x\) нецелое)

Таким образом, у нас три решения: \(x_1 = 5, x_2 = 2; x_3 = 7+4\sqrt{2}, x_4 = 7-4\sqrt{2}\).

Ответ: \(x_1 = 5, x_2 = 2; x_3 = 7+4\sqrt{2}, x_4 = 7-4\sqrt{2}\).