§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 244 — стр. 84

Обсуждение выражений и составление уравнения:

Нам нужно найти число $x$, такое, что

$13(x+\frac{1}{x})=x^3+\frac{1}{x^3}.$

Мы можем представить выражение $(x+\frac{1}{x})$ как сомножитель в уравнении:

$13(x+\frac{1}{x})=(x+\frac{1}{x})(x^2-14+\frac{1}{x^2}).$

Переносим всё в одну сторону и получаем квадратное уравнение:

$x^4-14x^2+1=0.$.

Введение новой переменной и решение уравнения:

Вводим новую переменную $y=x^2$, получаем уравнение:

$y^2-14y+1=0.$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D=192$, и корни:

$y_1=7-4\sqrt{3}=(2-\sqrt{3}{)}^2,y_2=7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^2.$.

Нахождение корней уравнения и проверка условия задачи:

Возвращаемся к $x$:

$x_1=\sqrt{y_1}=2-\sqrt{3},x_2=\sqrt{y_2}=2+\sqrt{3}.$.

Выбор значений корней:

В контексте задачи, так как речь идет о положительном числе, берем только положительные значения $x$:

$x_1=2+\sqrt{3}.$

Таким образом, существует положительное число $x=2+\sqrt{3}$, при сложении которого с его обратным получится сумма, в 13 раз меньшая суммы кубов этих чисел.