§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 244 — стр. 84

Обсуждение выражений и составление уравнения:

Нам нужно найти число \(x\), такое, что

\(13\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^3 + \frac{1}{x^3}.\)

Мы можем представить выражение \(\left(x + \frac{1}{x}\right)\) как сомножитель в уравнении:

\(13\left(x + \frac{1}{x}\right) = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 - 14 + \frac{1}{x^2}\right).\)

Переносим всё в одну сторону и получаем квадратное уравнение:

\(x^4 - 14x^2 + 1 = 0.\).

Введение новой переменной и решение уравнения:

Вводим новую переменную \(y = x^2\), получаем уравнение:

\(y^2 - 14y + 1 = 0.\)

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 192\), и корни:

\(y_1 = 7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2, \quad y_2 = 7 + 4\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2.\).

Нахождение корней уравнения и проверка условия задачи:

Возвращаемся к \(x\):

\(x_1 = \sqrt{y_1} = 2 - \sqrt{3}, \quad x_2 = \sqrt{y_2} = 2 + \sqrt{3}.\).

Выбор значений корней:

В контексте задачи, так как речь идет о положительном числе, берем только положительные значения \(x\):

\(x_1 = 2 + \sqrt{3}.\)

Таким образом, существует положительное число \(x = 2 + \sqrt{3}\), при сложении которого с его обратным получится сумма, в 13 раз меньшая суммы кубов этих чисел.