§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 245 — стр. 84

Уравнение $x^2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})=3\frac{1}{2}$ решается с использованием подстановки $z=x-\frac{1}{x}$.

$z^2+2-\frac{1}{2}z-\frac{7}{2}=0$

$2z^2-z-3=0$

$z_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1+24}}{4}$

$z_1=\frac{3}{2},z_2=-1$

Рассмотрим два случая:

1. $x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}$

$2x^2-2-3x=0$

$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{4}$

$x_1=2,x_2=-\frac{1}{2}$

2. $x-\frac{1}{x}=-1$

$x^2-1+x=0$

$x_{3,4}=\frac{-1\pm \sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

Ответ: $x_1=2,x_2=-\frac{1}{2},x_3=\frac{\sqrt{5}-1}{2},x_4=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.

Уравнение $x^2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}(x+\frac{1}{x})=8$ решается с использованием подстановки $z=x+\frac{1}{x}$.

$z^2-2-\frac{1}{3}z-8=0$

$3z^2-z-30=0$

$z_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1+360}}{6}$

$z_1=\frac{10}{3},z_2=-3$

Рассмотрим два случая:

1. $x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}$

$3x^2+3-10x=0$

$x_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{100-36}}{6}$

$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$

2. $x+\frac{1}{x}=-3$

$x^2+x+3x=0$

$x_{3,4}=\frac{-3\pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$

Ответ: $x_1=3,x_2=\frac{1}{3},x_3=\frac{\sqrt{5}-3}{2},x_4=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$.