§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 245 — стр. 84

Уравнение \(x^2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)=3 \frac{1}{2}\) решается с использованием подстановки \(z=x-\frac{1}{x}\).

\( z^2+2-\frac{1}{2} z-\frac{7}{2}=0 \)

\( 2 z^2-z-3=0 \)

\( z_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{4} \)

\( z_1=\frac{3}{2}, \quad z_2=-1 \)

Рассмотрим два случая:

1. \(x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}\)

\( 2 x^2-2-3 x=0 \)

\( x_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{4} \)

\( x_1=2, \quad x_2=-\frac{1}{2} \)

2. \(x-\frac{1}{x}=-1\)

\( x^2-1+x=0 \)

\( x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)

Ответ: \(x_1=2, x_2=-\frac{1}{2}, x_3=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, x_4=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\).

Уравнение \(x^2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{x}\right)=8\) решается с использованием подстановки \(z=x+\frac{1}{x}\).

\( z^2-2-\frac{1}{3} z-8=0 \)

\( 3 z^2-z-30=0 \)

\( z_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+360}}{6} \)

\( z_1=\frac{10}{3}, \quad z_2=-3 \)

Рассмотрим два случая:

1. \(x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}\)

\( 3 x^2+3-10 x=0 \)

\( x_{1,2}=\frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{6} \)

\( x_1=3, \quad x_2=\frac{1}{3} \)

2. \(x+\frac{1}{x}=-3\)

\( x^2+x+3 x=0 \)

\( x_{3,4}=\frac{-3 \pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \)

Ответ: \(x_1=3, x_2=\frac{1}{3}, x_3=\frac{\sqrt{5}-3}{2}, x_4=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\).