§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 246 — стр. 84

Рассмотрим выражение \(\frac{12-5x-2x^2}{15-10x}\). Сначала найдем корни уравнения в числителе \(12-5x-2x^2=0\), которое можно записать как \(-(2x^2+5x-12)=0\). Решив квадратное уравнение, получаем корни \(x_1=\frac{3}{2}\) и \(x_2=-4\).

Теперь упростим исходное выражение, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель \(5\):

\(\frac{12-5x-2x^2}{15-10x} = \frac{-2(x-\frac{3}{2})(x+4)}{5(3-2x)}.\)

Сокращаем общий множитель \(3-2x\) в числителе и знаменателе:

\(\frac{-2(x-\frac{3}{2})(x+4)}{5(3-2x)} = \frac{(3-2x)(x+4)}{5}.\)

Таким образом, упрощенное выражение равно \(\frac{x+4}{5}\).

Теперь рассмотрим выражение \(\frac{3x^2-36x-192}{x^2-256}\). Начнем с нахождения корней уравнения в числителе \(3x^2-36x-192=0\), что эквивалентно \(3(x^2-12x-64)=0\). Решив квадратное уравнение, получаем корни \(x_1=16\) и \(x_2=-4\).

Затем упростим исходное выражение, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель \(x-16\):

\(\frac{3x^2-36x-192}{x^2-256} = \frac{3(x-16)(x+4)}{(x-16)(x+16)}.\)

Сокращаем общий множитель \(x-16\) в числителе и знаменателе:

\(\frac{3(x-16)(x+4)}{(x-16)(x+16)} = \frac{3(x+4)}{x+16}.\)

Таким образом, упрощенное выражение равно \(\frac{3x+12}{x+16}\).