§5. Уравнения с одной переменной — 15. Решение задач с помощью уравнений — 250 — стр. 86

Получили уравнение:
\(\frac{x}{x+6} = \frac{x-2}{x+8} + \frac{1}{6}\)
Для упрощения уравнения, приведем все слагаемые к общему знаменателю \((x+6)(x+8)\):
\(\frac{x}{x+6} - \frac{x-2}{x+8} = \frac{1}{6}\)
Упростим числители и объединим дроби:
\(\frac{x(x+8) - (x+6)(x-2)}{(x+6)(x+8)} = \frac{1}{6}\)
Решим уравнение и учтем, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому исключим корни \(x = -8\) и \(x = -6\):
\(6(x^{2} + 8x - (x^{2} + 4x - 12)) = x^{2} + 14x + 48\)
Упростим и решим квадратное уравнение:
\(6(4x + 12) = x^{2} + 14x + 48\)
\(x^{2} - 10x - 24 = 0 \\ (x+2)(x-12) = 0\)
Таким образом, у нас два корня: \(x = -2\) и \(x = 12\). Исключив \(x = -8\) и \(x = -6\), учитывая, что \(x\) должен быть натуральным числом, выбираем \(x = 12\).
Подставим \(x = 12\) обратно в исходное уравнение:
\(\frac{12}{12+6} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}\)
Таким образом, правильный ответ: \(x = 12\) и дробь \(\frac{2}{3}\).