§6. Неравенства с одной переменной — 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной — 272 — стр. 91

\(3x^{2}+40x+10<-x^{2}+11x+3\)

Переносим все члены в левую часть:

\(4x^{2}+29x+7<0\)

Теперь найдем корни квадратного уравнения

\(4x^{2}+29x+7=0\):

\(x_{1,2}=\frac{-29 \pm \sqrt{841-112}}{8}\)

\(x_{1}=-\frac{1}{4}\)

\(x_{2}=-7\)

Таким образом, неравенство \(3x^{2}+40x+10<-x^{2}+11x+3\) выполняется при \(x \in (-7, -\frac{1}{4})\).

Ответ: \(x \in (-7, -\frac{1}{4})\).

\(9x^{2}-x+9\geq 3x^{2}+18x-6\)

Переносим все члены в левую часть:

\(6x^{2}-19x+15\geq 0\)

Теперь найдем корни квадратного уравнения \(6x^{2}-19x+15=0\):

\(x_{1,2}=\frac{19 \pm \sqrt{361-360}}{12}\)

\(x_{1}=\frac{18}{12}=1 \frac{1}{2}\)

\(x_{2}=\frac{20}{12}=1 \frac{2}{3}\)

Таким образом, неравенство \(9x^{2}-x+9\geq 3x^{2}+18x-6\) выполняется при \(x \in (-\infty, 1 \frac{1}{2}) \cup (1 \frac{2}{3}, +\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty, 1 \frac{1}{2}) \cup (1 \frac{2}{3}, +\infty)\).

\(2x^{2}+8x-111<(3x-5)(2x+6)\)

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(2x^{2}+8x-1110\)

Уравнение \(4x^{2}+81=0\) не имеет действительных корней, и, следовательно, знак у \(4x^{2}+81\) не изменяется. Таким образом, неравенство выполняется при любых значениях \(x\).

Ответ: \(x \in \mathbb{R}\).

\((5x+1)(3x-1)>(4x-1)(x+2)\)

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(15x^{2}-2x-1>4x^{2}+7x-2\)

\(11x^{2}-9x+1>0\)

Теперь найдем корни квадратного уравнения \(11x^{2}-9x+1=0\):

\(x_{1,2}=\frac{9 \pm \sqrt{81-44}}{22}\)

\(x_{1}=\frac{9-\sqrt{37}}{22}\)

\(x_{2}=\frac{9+\sqrt{37}}{22}\)

Так как \(11x^{2}-9x+1\) — это парабола с ветвями, направленными вверх, знак выражения зависит от интервалов между корнями. Таким образом, неравенство выполняется при \(x \in \left(-\infty, \frac{9-\sqrt{37}}{22}\right) \cup \left(\frac{9+\sqrt{37}}{22}, +\infty\right)\).

Ответ: \(x \in \left(-\infty, \frac{9-\sqrt{37}}{22}\right) \cup \left(\frac{9+\sqrt{37}}{22}, +\infty\right)\).